复数Complex numbersКомплексные числа

Задача 46 复数Complex numbersКомплексные числа 2025年12月, № 46December 2025, № 46Декабрь 2025, № 46

若复数 \(z\) 满足 \(z^3=1\) 且 \(z\ne 1\)，则 \(1+z+z^2+\cdots+z^{999}=\)
If the complex number \(z\) satisfies \(z^3=1\) and \(z\ne 1\), then \(1+z+z^2+\cdots+z^{999}=\)
Если комплексное число \(z\) удовлетворяет условиям \(z^3=1\) и \(z\ne 1\), то \(1+z+z^2+\cdots+z^{999}=\)

Решение

Из \(z^3=1\) и \(z\ne 1\) следует \(1+z+z^2=0\), так как \(z^3-1=(z-1)(1+z+z^2)\).

В сумме 1000 слагаемых: 333 полные тройки \(z^{3k}(1+z+z^2)=0\) и последнее слагаемое \(z^{999}\).

\(z^{999}=(z^3)^{333}=1\), поэтому вся сумма равна \(1\).

Ответ: C.

Задача 94 复数Complex numbersКомплексные числа 2026年1月, № 46January 2026, № 46Январь 2026, № 46

在复平面上，表示复数 \(z\) 的点在直线 \(x-y=0\) 上。如果 \(z\) 是二次方程 \(x^{2}+mx+4=0\) 的一个根，则 \(m=\) ：
On the complex plane, the point representing a complex number \(z\) lies on the line \(x-y=0\). If \(z\) is a root of the quadratic equation \(x^{2}+mx+4=0\), then \(m=\) :
На комплексной плоскости точка, представляющая комплексное число \(z\), лежит на прямой \(x-y=0\). Если \(z\) является корнем квадратного уравнения \(x^{2}+mx+4=0\), то \(m=\) :

Решение

Точка \(z\) лежит на прямой \(x - y = 0\), значит \(z = a + ai\) для некоторого действительного \(a\).

Подставим в уравнение: \((a+ai)^2 + m(a+ai) + 4 = 0\).

Раскроем: \(a^2 + 2a^2 i - a^2 + ma + mai + 4 = 0\), то есть \(2a^2 i + ma + mai + 4 = 0\).

Мнимая часть равна нулю: \(2a^2 + ma = 0\), откуда \(a(2a + m) = 0\).

Если \(a = 0\), то из действительной части \(4 = 0\), что невозможно, поэтому \(m = -2a\).

Действительная часть: \(ma + 4 = 0\), подставляем \(m = -2a\): \(-2a^2 + 4 = 0\), откуда \(a^2 = 2\), \(a = \pm\sqrt{2}\).

Тогда \(m = -2a = \mp 2\sqrt{2}\), то есть \(m = 2\sqrt{2}\) или \(m = -2\sqrt{2}\).

Ответ: B.

Задача 137 复数Complex numbersКомплексные числа 2026年3月, № 46March 2026, № 46Март 2026, № 46

设 \(z_1\) 和 \(z_2\) 是方程 \(z^2-2z+2=0\) 的两个根。令 \(a_n=(z_1^n-z_2^n)^2\)，则 \(a_4=\)
Suppose that \(z_1\) and \(z_2\) are two roots of the equation \(z^2-2z+2=0\). Let \(a_n=(z_1^n-z_2^n)^2\). Then \(a_4=\)
Допустим, \(z_1\) и \(z_2\) — два корня уравнения \(z^2-2z+2=0\). Пусть \(a_n=(z_1^n-z_2^n)^2\). Тогда \(a_4=\)

Решение

Корни уравнения \(z^2-2z+2=0\): \(z_{1,2}=1\pm i\).

\((1+i)^2=2i\), значит \((1+i)^4=(2i)^2=-4\); так же \((1-i)^2=-2i\) и \((1-i)^4=-4\).

\(a_4=(z_1^4-z_2^4)^2=(-4-(-4))^2=0\).

Ответ: C.

Задача 184 复数Complex numbersКомплексные числа 2026年4月, № 46April 2026, № 46Апрель 2026, № 46

若复数 \(z\) 满足方程 \((z-2i)(2-i)=5\)，则 \(z=\)
If a complex number \(z\) satisfies the equation \((z-2i)(2-i)=5\), then \(z=\)
Если комплексное число \(z\) удовлетворяет уравнению \((z-2i)(2-i)=5\), то \(z=\)

Решение

Раскроем скобки в левой части уравнения: \(2z - zi - 4i + 2i^2 = 5\).

Поскольку \(i^2 = -1\), получаем \(2z - zi - 4i - 2 = 5\), откуда \(2z - zi = 7 + 4i\).

Вынесем \(z\): \(z(2 - i) = 7 + 4i\), значит \(z = \dfrac{7 + 4i}{2 - i}\).

Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое к знаменателю число \(2 + i\).

Числитель: \((7 + 4i)(2 + i) = 14 + 7i + 8i + 4i^2 = 14 + 15i - 4 = 10 + 15i\).

Знаменатель: \((2 - i)(2 + i) = 4 + 1 = 5\). Тогда \(z = \dfrac{10 + 15i}{5} = 2 + 3i\).

Ответ: A.

Задача 232 复数Complex numbersКомплексные числа 2026年6月, № 46June 2026, № 46Июнь 2026, № 46

若 \(z = -1 + i\)，其中 \(i\) 为虚数单位，则 \(\dfrac{z+1}{z+2} + \dfrac{z+2}{z+1}\) =
If \(z = -1 + i\), where \(i\) is the imaginary unit, then \(\dfrac{z+1}{z+2} + \dfrac{z+2}{z+1}\) =
Если \(z = -1 + i\), где \(i\) — мнимая единица, то \(\dfrac{z+1}{z+2} + \dfrac{z+2}{z+1}\) =

Решение

\( z + 1 = i \), \( z + 2 = 1 + i \).

\( \dfrac{z+1}{z+2} = \dfrac{i}{1+i} = \dfrac{i(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \dfrac{1+i}{2} \).

\( \dfrac{z+2}{z+1} = \dfrac{1+i}{i} = \dfrac{(1+i)(-i)}{i\cdot(-i)} = 1 - i \).

Складываем: \( \dfrac{1+i}{2} + (1 - i) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}i + 1 - i = \dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{2}i \).

Ответ: C.

Задача 280 复数Complex numbersКомплексные числа 模拟卷 CSCA Math Exam, № 46Mock: CSCA Math Exam, № 46Пробник CSCA Math Exam, № 46

已知复数 \(z\) 满足 \(|z|=1\)，则 \(|2z+1|\) 的最大值为：
Given a complex number \(z\) with \(|z|=1\), the maximum value of \(|2z+1|\) is:
Дано комплексное число \(z\), для которого \(|z|=1\). Тогда наибольшее значение \(|2z+1|\) равно:

Решение

По неравенству треугольника \( |2z+1| \le |2z| + |1| = 2|z| + 1 \).

Подставляем \( |z|=1 \): \( |2z+1| \le 2 \cdot 1 + 1 = 3 \).

Равенство достигается, когда \( 2z \) и \( 1 \) имеют одинаковый аргумент, то есть при \( z=1 \).

Проверка: \( |2(1)+1| = |3| = 3 \).

Ответ: D.

Задача 328 复数Complex numbersКомплексные числа 模拟卷 Crossline, № 46Mock: Crossline, № 46Пробник Crossline, № 46

设复数 \(z_1\) 和 \(z_2\) 对应的向量分别为 \(\vec{OA}\) 和 \(\vec{OB}\)，且 \(z_1 = 1 + i\)。若将 \(\vec{OA}\) 绕原点顺时针旋转 \(\dfrac{\pi}{4}\)，将 \(\vec{OB}\) 绕原点逆时针旋转 \(\dfrac{\pi}{4}\)，使得这两个向量的终点重合，则 \(z_2 =\)：
Let the vectors corresponding to the complex numbers \(z_1\) and \(z_2\) be \(\vec{OA}\) and \(\vec{OB}\) respectively, with \(z_1 = 1 + i\). If \(\vec{OA}\) is rotated clockwise about the origin by \(\dfrac{\pi}{4}\) and \(\vec{OB}\) is rotated counterclockwise about the origin by \(\dfrac{\pi}{4}\) so that the endpoints of the two vectors coincide, then \(z_2 =\):
Пусть комплексным числам \(z_1\) и \(z_2\) соответствуют векторы \(\vec{OA}\) и \(\vec{OB}\), причём \(z_1 = 1 + i\). Если вектор \(\vec{OA}\) повернуть вокруг начала координат по часовой стрелке на угол \(\dfrac{\pi}{4}\), а вектор \(\vec{OB}\) — против часовой стрелки на угол \(\dfrac{\pi}{4}\), так что концы этих векторов совпадут, то \(z_2 =\):

Ошибка в источнике: отмечен ответ B, верный A.

Решение

Поворот по часовой стрелке на \( \dfrac{\pi}{4} \) — умножение на \( e^{-i\pi/4} \), против часовой — на \( e^{i\pi/4} \).

Совпадение концов: \( z_1 e^{-i\pi/4}=z_2 e^{i\pi/4} \), откуда \( z_2=z_1 e^{-i\pi/2}=-i z_1 \).

Вычисляем: \( z_2=-i(1+i)=1-i \).

Ответ: A.