若数列 \(\{a_n\}\) 的前 \(n\) 项和为 \(S_n=\dfrac{2}{3}a_n+\dfrac{1}{3}\)，则通项公式 \(a_n=\)
If the sum of the first \(n\) terms of a sequence \(\{a_n\}\) is \(S_n=\dfrac{2}{3}a_n+\dfrac{1}{3}\), then the general term \(a_n=\)
Если сумма первых \(n\) членов последовательности \(\{a_n\}\) равна \(S_n=\dfrac{2}{3}a_n+\dfrac{1}{3}\), то общий член \(a_n=\)
Решение
При \(n=1\): \(S_1=a_1=\dfrac{2}{3}a_1+\dfrac{1}{3}\), значит \(\dfrac{1}{3}a_1=\dfrac{1}{3}\), \(a_1=1\).
При \(n\ge 2\): \(a_n=S_n-S_{n-1}=\dfrac{2}{3}a_n-\dfrac{2}{3}a_{n-1}\), значит \(\dfrac{1}{3}a_n=-\dfrac{2}{3}a_{n-1}\), \(a_n=-2a_{n-1}\).
Геометрическая прогрессия с \(a_1=1\), \(q=-2\): \(a_n=(-2)^{n-1}\).
Проверка: \(a_2=-2\), \(S_2=-1=\dfrac{2}{3}\cdot(-2)+\dfrac{1}{3}=-1\), верно.
Ответ: B.