CSCA · Математика

递推数列与数列求和Recurrences and sumsРекуррентные последовательности и суммы

8 задач · текстом

Задача 41递推数列与数列求和Recurrences and sumsРекуррентные последовательности и суммы2025年12月, № 41December 2025, № 41Декабрь 2025, № 41
若数列 \(\{a_n\}\) 满足 \(a_1=1\)，\(a_n=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{a_{n-1}}}\)（\(n\ge 2\)），则 \(a_{100}=\)
Given that the sequence \(\{a_n\}\) satisfies \(a_1=1\), \(a_n=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{a_{n-1}}}\) (\(n\ge 2\)), then \(a_{100}=\)
Дано, что последовательность \(\{a_n\}\) удовлетворяет условиям \(a_1=1\), \(a_n=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{a_{n-1}}}\) (\(n\ge 2\)). Тогда \(a_{100}=\)
Решение

Упростим рекуррентное соотношение: \( a_n = \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{a_{n-1}}} = \dfrac{a_{n-1}}{a_{n-1}+1} \).\nТогда \( \dfrac{1}{a_n} = \dfrac{a_{n-1}+1}{a_{n-1}} = 1 + \dfrac{1}{a_{n-1}} \).\nПоследовательность \( b_n = \dfrac{1}{a_n} \) арифметическая с разностью 1.\n\( b_1 = 1 \), значит \( b_n = n \), откуда \( a_n = \dfrac{1}{n} \).\n\( a_{100} = \dfrac{1}{100} \).\nОтвет: B.

Задача 88递推数列与数列求和Recurrences and sumsРекуррентные последовательности и суммы2026年1月, № 40January 2026, № 40Январь 2026, № 40
数列 \(-\dfrac{1}{5}, \dfrac{1}{7}, -\dfrac{1}{9}, \dfrac{1}{11}\) 的通项公式是 \(a_n =\)
The general term formula for the sequence \(-\dfrac{1}{5}, \dfrac{1}{7}, -\dfrac{1}{9}, \dfrac{1}{11}\) is \(a_n =\)
Формула общего члена последовательности \(-\dfrac{1}{5}, \dfrac{1}{7}, -\dfrac{1}{9}, \dfrac{1}{11}\) имеет вид \(a_n =\)
Решение

Знаки чередуются, начиная с минуса, значит множитель \((-1)^n\).

Знаменатели: \(5, 7, 9, 11\) — арифметическая прогрессия с общим членом \(2n + 3\).

Проверка: при \(n = 1\) получаем \(\dfrac{-1}{5}\), при \(n = 2\) получаем \(\dfrac{1}{7}\), совпадает.

Варианты A и D дают знаменатель \(3n+2 = 5, 8, 11\), не подходит.

Ответ: B.

Задача 132递推数列与数列求和Recurrences and sumsРекуррентные последовательности и суммы2026年3月, № 41March 2026, № 41Март 2026, № 41
在数列 \(\{a_n\}\) 中，若 \(a_1=\dfrac{1}{2}\)，且 \(\dfrac{1}{a_{n+1}}=\dfrac{1}{a_n}+1\)，\(n\ge 1\)，则 \(a_6=\)
In the sequence \(\{a_n\}\), if \(a_1=\dfrac{1}{2}\) and \(\dfrac{1}{a_{n+1}}=\dfrac{1}{a_n}+1\), \(n\ge 1\), then \(a_6=\)
В последовательности \(\{a_n\}\), если \(a_1=\dfrac{1}{2}\) и \(\dfrac{1}{a_{n+1}}=\dfrac{1}{a_n}+1\), \(n\ge 1\), то \(a_6=\)
Решение

Пусть \( b_n=\dfrac{1}{a_n} \), тогда \( b_{n+1}=b_n+1 \) — арифметическая прогрессия.

\( b_1=\dfrac{1}{a_1}=2 \), значит \( b_n=2+(n-1)=n+1 \).

Тогда \( b_6=7 \) и \( a_6=\dfrac{1}{7} \).

Ответ: A.

Задача 138递推数列与数列求和Recurrences and sumsРекуррентные последовательности и суммы2026年3月, № 47March 2026, № 47Март 2026, № 47
设 \(a_n=2^{n+1}-3n\)，\(n\ge 1\)。令 \(S_n\) 为数列的前 \(n\) 项和，则 \(S_n\) =
Suppose that \(a_n=2^{n+1}-3n\), \(n\ge 1\). Let \(S_n\) be the sum of the first \(n\) terms of the sequence. Then \(S_n\) =
Пусть \(a_n=2^{n+1}-3n\), \(n\ge 1\). Пусть \(S_n\) — сумма первых \(n\) членов последовательности. Тогда \(S_n\) =
Решение

Сумма первых \(n\) членов: \(S_n = \sum_{k=1}^{n} 2^{k+1} - 3\sum_{k=1}^{n} k\).

Первая сумма геометрическая: \(2^2 + 2^3 + \dots + 2^{n+1} = 2^{n+2} - 4\).

Вторая сумма: \(3 \cdot \dfrac{n(n+1)}{2} = \dfrac{3n(n+1)}{2}\).

Тогда \(S_n = 2^{n+2} - \dfrac{3n(n+1)}{2} - 4\).

Ответ: D.

Задача 179递推数列与数列求和Recurrences and sumsРекуррентные последовательности и суммы2026年4月, № 41April 2026, № 41Апрель 2026, № 41
若数列 \(\{a_n\}\) 满足 \(a_n = (-1)^{n} \cdot 2 a_{n-1}\)（\(n \ge 2\)），且 \(a_{1}=\dfrac{1}{3}\)，则 \(a_{4}=\)
If a sequence \(\{a_n\}\) satisfies \(a_n = (-1)^{n} \cdot 2 a_{n-1}\) (\(n \ge 2\)) and \(a_{1}=\dfrac{1}{3}\), then \(a_{4}=\)
Если последовательность \(\{a_n\}\) удовлетворяет \(a_n = (-1)^{n} \cdot 2 a_{n-1}\) (\(n \ge 2\)) и \(a_{1}=\dfrac{1}{3}\), то \(a_{4}=\)

Ошибка в источнике: отмечен ответ \(-\dfrac{16}{3}\), верный \(-\dfrac{8}{3}\).

Решение

\(a_2=(-1)^2\cdot 2\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}\).

\(a_3=(-1)^3\cdot 2\cdot\dfrac{2}{3}=-\dfrac{4}{3}\).

\(a_4=(-1)^4\cdot 2\cdot\left(-\dfrac{4}{3}\right)=-\dfrac{8}{3}\).

Ответ: B.

Задача 185递推数列与数列求和Recurrences and sumsРекуррентные последовательности и суммы2026年4月, № 47April 2026, № 47Апрель 2026, № 47
若数列 \(\{a_n\}\) 的前 \(n\) 项和为 \(S_n=\dfrac{2}{3}a_n+\dfrac{1}{3}\)，则通项公式 \(a_n=\)
If the sum of the first \(n\) terms of a sequence \(\{a_n\}\) is \(S_n=\dfrac{2}{3}a_n+\dfrac{1}{3}\), then the general term \(a_n=\)
Если сумма первых \(n\) членов последовательности \(\{a_n\}\) равна \(S_n=\dfrac{2}{3}a_n+\dfrac{1}{3}\), то общий член \(a_n=\)
Решение

При \(n=1\): \(S_1=a_1=\dfrac{2}{3}a_1+\dfrac{1}{3}\), значит \(\dfrac{1}{3}a_1=\dfrac{1}{3}\), \(a_1=1\).

При \(n\ge 2\): \(a_n=S_n-S_{n-1}=\dfrac{2}{3}a_n-\dfrac{2}{3}a_{n-1}\), значит \(\dfrac{1}{3}a_n=-\dfrac{2}{3}a_{n-1}\), \(a_n=-2a_{n-1}\).

Геометрическая прогрессия с \(a_1=1\), \(q=-2\): \(a_n=(-2)^{n-1}\).

Проверка: \(a_2=-2\), \(S_2=-1=\dfrac{2}{3}\cdot(-2)+\dfrac{1}{3}=-1\), верно.

Ответ: B.

Задача 227递推数列与数列求和Recurrences and sumsРекуррентные последовательности и суммы2026年6月, № 41June 2026, № 41Июнь 2026, № 41
若数列 \(\{a_n\}\) 的前 \(n\) 项和 \(S_n = n^3 + n^2 + n\)，则通项 \(a_n =\)
If the sum of the first \(n\) terms of the sequence \(\{a_n\}\) is \(S_n = n^3 + n^2 + n\), then the general term \(a_n =\)
Если сумма первых \(n\) членов последовательности \(\{a_n\}\) равна \(S_n = n^3 + n^2 + n\), то общий член \(a_n =\)
Решение

Для \( n \geq 2 \): \( a_n = S_n - S_{n-1} = n^3 + n^2 + n - \left((n-1)^3 + (n-1)^2 + (n-1)\right) \).

Раскрываем: \( (n-1)^3 = n^3 - 3n^2 + 3n - 1 \), \( (n-1)^2 = n^2 - 2n + 1 \).

Вычитаем: \( a_n = 3n^2 - 3n + 1 + 2n - 1 + 1 = 3n^2 - n + 1 \).

Проверка: \( a_1 = S_1 = 3 \), и по формуле \( 3 - 1 + 1 = 3 \), совпадает.

Ответ: A.

Задача 274递推数列与数列求和Recurrences and sumsРекуррентные последовательности и суммы模拟卷 CSCA Math Exam, № 40Mock: CSCA Math Exam, № 40Пробник CSCA Math Exam, № 40
若数列 \(\{a_n\}\) 中，\(a_1=1\)，\(a_2=3\)，且 \(a_{n+2}=a_{n+1}+a_n\)（\(n=1,2,\ldots\)），则 \(a_5\) =
If in the sequence \(\{a_n\}\), \(a_1=1\), \(a_2=3\), and \(a_{n+2}=a_{n+1}+a_n\) (\(n=1,2,\ldots\)), then \(a_5\) =
Если в последовательности \(\{a_n\}\) \(a_1=1\), \(a_2=3\) и \(a_{n+2}=a_{n+1}+a_n\) (\(n=1,2,\ldots\)), то \(a_5\) =
Решение

Последовательно вычисляем члены последовательности по рекуррентной формуле \(a_{n+2}=a_{n+1}+a_n\).

\(a_3=a_2+a_1=3+1=4\).

\(a_4=a_3+a_2=4+3=7\).

\(a_5=a_4+a_3=7+4=11\).

Ответ: C.