已知 \(\tan\dfrac{\pi}{4}=1\)，\(\tan\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)，则 \(\tan\dfrac{\pi}{12}=\)
Given that \(\tan\dfrac{\pi}{4}=1\) and \(\tan\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\), then \(\tan\dfrac{\pi}{12}=\)
Дано, что \(\tan\dfrac{\pi}{4}=1\) и \(\tan\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\), тогда \(\tan\dfrac{\pi}{12}=\)
Решение
Представим угол как разность: \(\dfrac{\pi}{12} = \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\pi}{6}\).
Применим формулу тангенса разности: \(\tan(A - B) = \dfrac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}\).
Подставим известные значения: \(\tan\dfrac{\pi}{12} = \dfrac{1 - \dfrac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{3}}\).
Умножим числитель и знаменатель на 3: \(\dfrac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}\).
Избавимся от иррациональности, умножив на сопряжённое выражение \(3 - \sqrt{3}\): \(\dfrac{(3 - \sqrt{3})^2}{9 - 3} = \dfrac{12 - 6\sqrt{3}}{6} = 2 - \sqrt{3}\).
Ответ: C.