CSCA · Математика

2026年6月June 2026Июнь 2026

48 задач, 60 минут · реальная сессия, восстановлена по памяти сдававших · CSCA Math Exam · текстом

0 из 48
1Задача 187集合SetsМножества
若集合 \(A=\{x \mid x^2=1\}\)，则下列表示正确的是：
If the set \(A=\{x \mid x^2=1\}\), then which of the following representations is correct?
Если множество \(A=\{x \mid x^2=1\}\), то какое из следующих представлений верно?
Решение

Решим уравнение \(x^2=1\), получим \(x=1\) или \(x=-1\), значит \(A=\{-1, 1\}\).

Вариант A неверен, так как множество не может быть равно числу.

Вариант C неверен, так как знак \(\subseteq\) применяется к множествам, а не к элементам.

Вариант D неверен, так как в множестве \(A\) два элемента, а не один.

Множество \(\{1\}\) является подмножеством \(A\), поэтому вариант B верен.

Ответ: B.

2Задача 188集合SetsМножества
若集合 \(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,\ldots,2026\}\)，则 \(A \cap B=\)
If the sets \(A=\{1,2,3\}\) and \(B=\{2,3,\ldots,2026\}\), then \(A \cap B=\)
Если множества \(A=\{1,2,3\}\) и \(B=\{2,3,\ldots,2026\}\), то \(A \cap B=\)
Решение

Множество \(A\) содержит элементы 1, 2 и 3.

Множество \(B\) содержит все целые числа от 2 до 2026 включительно.

Пересечение \(A \cap B\) состоит из элементов, принадлежащих обоим множествам.

Элемент 1 не входит в \(B\), а элементы 2 и 3 входят в оба множества.

Следовательно, \(A \cap B = \{2, 3\}\).

Ответ: A.

3Задача 189一元二次不等式Quadratic inequalitiesКвадратные неравенства
一元二次不等式 \(3(x+4)(x-2)<0\) 的解集为：
The solution set of the quadratic inequality \(3(x+4)(x-2)<0\) is:
Множество решений квадратного неравенства \(3(x+4)(x-2)<0\):
Решение

Разделим обе части неравенства на 3, получим \((x+4)(x-2)<0\).

Корни соответствующего уравнения равны \(x=-4\) и \(x=2\).

Парабола \(y=(x+4)(x-2)\) имеет ветви, направленные вверх.

Значения функции отрицательны между корнями, то есть при \(-4 < x < 2\).

Множество решений записывается как интервал \((-4, 2)\).

Ответ: B.

4Задача 190定义域与值域Domain and rangeОбласть определения и значений
函数 \(y=\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{x-2}+\dfrac{1}{x-3}\) 的定义域为：
The domain of the function \(y=\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{x-2}+\dfrac{1}{x-3}\) is:
Область определения функции \(y=\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{x-2}+\dfrac{1}{x-3}\):
Решение

Функция определена при условии, что знаменатели всех дробей не равны нулю.

Из первого слагаемого получаем ограничение \(x-1 \neq 0\), то есть \(x \neq 1\).

Из второго слагаемого \(x-2 \neq 0\), то есть \(x \neq 2\).

Из третьего слагаемого \(x-3 \neq 0\), то есть \(x \neq 3\).

Область определения — вся числовая прямая кроме точек 1, 2 и 3, что соответствует объединению интервалов \((-\infty,1) \cup (1,2) \cup (2,3) \cup (3,+\infty)\).

Ответ: A.

5Задача 191坐标与距离Coordinates and distanceКоординаты и расстояния
若点 \(P(x,y)\) 位于第二象限，则点 \(Q(2x,3y)\) 位于：
If point \(P(x,y)\) lies in the second quadrant, then point \(Q(2x,3y)\) lies in:
Если точка \(P(x,y)\) лежит во второй четверти, то точка \(Q(2x,3y)\) лежит:
Решение

Точка \(P(x,y)\) во второй четверти, значит \(x<0\) и \(y>0\).

Тогда \(2x<0\) и \(3y>0\).

Координаты точки \(Q(2x,3y)\) имеют знаки минус и плюс.

Отрицательная абсцисса и положительная ордината соответствуют второй четверти.

Ответ: C.

6Задача 192任意角与诱导公式Angles, values and reduction formulasУглы, значения и формулы приведения
下列结果正确的是：
Which of the following results is correct?
Какой из следующих результатов верен?
Решение

\(\tan\dfrac{\pi}{3}=\sqrt{3}\neq 2\), вариант A неверен.

\(\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2}\), вариант B верен.

\(\sin\pi=0\neq 1\), вариант C неверен.

\(\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\neq \dfrac{1}{2}\), вариант D неверен.

Ответ: B.

7Задача 193单调性与奇偶性Monotonicity and parityМонотонность и чётность
下列关于奇函数 \(y=f(x)\) 的说法不正确的是：
Which of the following statements about the odd function \(y=f(x)\) is incorrect?
Какое из следующих утверждений о нечётной функции \(y=f(x)\) неверно?
Решение

Нечетная функция по определению удовлетворяет условию \(f(-x) = -f(x)\) для всех \(x\) из области определения.

Область определения нечетной функции обязательно симметрична относительно начала координат.

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Утверждение \(f(-x) = f(x)\) является определением четной функции, а не нечетной, поэтому оно неверно.

Ответ: B.

8Задача 194反函数与图象变换Inverse functions and graph transformationsОбратная функция и преобразования графиков
函数 \(y=2x\)，\(x\in[-1,1]\) 的反函数是：
The inverse function of \(y=2x\), \(x\in[-1,1]\) is:
Обратная функция для \(y=2x\), \(x\in[-1,1]\):
Решение

Исходная функция \(y = 2x\) задана на отрезке \(x \in [-1, 1]\).

Выражаем \(x\) через \(y\): \(x = \dfrac{y}{2}\).

Меняем переменные местами, получаем обратную функцию \(y = \dfrac{x}{2}\).

Область значений исходной функции при \(x \in [-1, 1]\) равна \([-2, 2]\), это и будет областью определения обратной функции.

Ответ: C.

9Задача 195指数函数Exponential functionsПоказательная функция
下列函数中单调递减的是：
Which of the following functions is monotonically decreasing?
Какая из следующих функций монотонно убывает?
Решение

Функция \(y = \dfrac{1}{e^x} = e^{-x}\) имеет основание степени \(e > 1\) и отрицательный показатель, поэтому она монотонно убывает на всей числовой прямой.

Функция \(y = x^2 - 1\) убывает только при \(x < 0\) и возрастает при \(x > 0\).

Функция \(y = 100x\) является линейной с положительным коэффициентом и монотонно возрастает.

Функция \(y = \cos x\) периодически возрастает и убывает, не являясь монотонной.

Ответ: A.

10Задача 196分式与绝对值不等式Rational and absolute value inequalitiesДробные неравенства и неравенства с модулем
分式不等式 \(\dfrac{2}{x-2}\le 0\) 的解集为：
The solution set of the rational inequality \(\dfrac{2}{x-2}\le 0\) is:
Множество решений рационального неравенства \(\dfrac{2}{x-2}\le 0\):
Решение

Дробь \(\dfrac{2}{x-2}\) меньше или равна нулю, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки или числитель равен нулю.

Числитель равен \(2\), что строго больше нуля, поэтому дробь равна нулю быть не может.

Значит, знаменатель должен быть строго отрицательным: \(x - 2 < 0\).

Решая неравенство, получаем \(x < 2\), то есть множество решений \((-\infty, 2)\).

Ответ: A.

11Задача 197坐标与距离Coordinates and distanceКоординаты и расстояния
下列点位于第三象限的是：
Which of the following points lies in the third quadrant?
Какая из следующих точек лежит в третьей четверти?
Решение

В третьей четверти обе координаты точки отрицательны: \(x<0\) и \(y<0\).

Точка \((-1,-2)\) имеет обе координаты отрицательными, значит лежит в третьей четверти.

Точка \((-1,2)\) — вторая четверть, \((1,2)\) — первая, \((1,-2)\) — четвёртая.

Ответ: A.

12Задача 198等比数列Geometric sequencesГеометрическая прогрессия
已知 \(a\)、\(b\) 和 \(c\) 构成等比数列并且满足 \(ac=100\)，则 \(b=\)
Given that \(a\), \(b\), and \(c\) form a geometric sequence and satisfy \(ac=100\), then \(b=\)
Дано, что \(a\), \(b\) и \(c\) образуют геометрическую прогрессию и удовлетворяют условию \(ac=100\), тогда \(b=\)
Решение

В геометрической прогрессии \(b^2=ac\).

По условию \(ac=100\), значит \(b^2=100\).

Отсюда \(b=\pm 10\).

Ответ: D.

13Задача 199直线LinesПрямая
若直线经过点 \((-1, 1)\) 和 \((0, 2)\)，则直线的倾斜角为：
If a line passes through the points \((-1, 1)\) and \((0, 2)\), then the angle of inclination of the line is:
Если прямая проходит через точки \((-1, 1)\) и \((0, 2)\), то угол наклона этой прямой равен:
Решение

Угловой коэффициент прямой через точки \((-1,1)\) и \((0,2)\): \(k=\dfrac{2-1}{0-(-1)}=1\).

Угол наклона \(\alpha\) удовлетворяет \(\tan\alpha=k=1\).

Так как \(0^\circ\le\alpha<180^\circ\), получаем \(\alpha=45^\circ\).

Ответ: C.

14Задача 200任意角与诱导公式Angles, values and reduction formulasУглы, значения и формулы приведения
若点 \(P(1, 2)\) 是角 \(\alpha\) 的终边上的点，则 \(\sin\alpha =\)
If point \(P(1, 2)\) lies on the terminal side of angle \(\alpha\), then \(\sin\alpha =\)
Если точка \(P(1, 2)\) лежит на конечной стороне угла \(\alpha\), то \(\sin\alpha =\)
Решение

Расстояние от начала координат до точки \(P(1,2)\): \(r=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}\).

По определению \(\sin\alpha=\dfrac{y}{r}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}\).

Рационализируем: \(\dfrac{2}{\sqrt{5}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}=2\dfrac{\sqrt{5}}{5}\).

Ответ: D.

15Задача 201直线LinesПрямая
经过点 \(A(-1, 1)\)，\(B(2, 3)\) 的直线的斜率为
The slope of the line passing through points \(A(-1, 1)\) and \(B(2, 3)\) is
Наклон прямой, проходящей через точки \(A(-1, 1)\) и \(B(2, 3)\), равен
Решение

Угловой коэффициент прямой через точки \(A(-1,1)\) и \(B(2,3)\): \(k=\dfrac{3-1}{2-(-1)}\).

Вычисляем: \(k=\dfrac{2}{3}\).

Ответ: A.

16Задача 202等差数列Arithmetic sequencesАрифметическая прогрессия
已知数列 \(\{a_n\}\) 是等差数列，且 \(a_{1}=1\)，公差 \(d=2\)，则 \(a_{9} =\)
Given that the sequence \(\{a_n\}\) is an arithmetic progression with \(a_{1}=1\) and common difference \(d=2\), then \(a_{9} =\)
Если дано, что последовательность \(\{a_n\}\) является арифметической прогрессией с \(a_{1}=1\) и разностью \(d=2\), то \(a_{9} =\)
Решение

Формула общего члена арифметической прогрессии: \(a_n = a_1 + (n-1)d\).

Подставляем \(a_1 = 1\), \(d = 2\), \(n = 9\).

\(a_9 = 1 + (9-1) \cdot 2 = 1 + 8 \cdot 2 = 1 + 16 = 17\).

Ответ: D.

17Задача 203坐标与距离Coordinates and distanceКоординаты и расстояния
点 \(P(a, b)\) 到点 \(Q(a + 1, b - 1)\) 的距离为
The distance from point \(P(a, b)\) to point \(Q(a + 1, b - 1)\) is
Расстояние от точки \(P(a, b)\) до точки \(Q(a + 1, b - 1)\) равно
Решение

Расстояние между точками вычисляется по формуле \(PQ = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\).

Разность абсцисс: \((a+1) - a = 1\).

Разность ординат: \((b-1) - b = -1\).

\(PQ = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}\).

Ответ: C.

18Задача 204直线LinesПрямая
过原点并且斜率为 2 的直线方程是
The equation of the line passing through the origin with slope 2 is
Уравнение прямой, проходящей через начало координат и имеющей наклон 2, выглядит так
Решение

Уравнение прямой с угловым коэффициентом \(k\), проходящей через начало координат, имеет вид \(y = kx\).

По условию угловой коэффициент \(k = 2\).

Подставляем и получаем \(y = 2x\).

Варианты A и D не проходят через начало координат, вариант B имеет неверный угловой коэффициент.

Ответ: C.

19Задача 205圆CirclesОкружность
圆心为 \((2, 5)\)，半径为 \(5\) 的圆的方程是：
The equation of the circle centered at \((2, 5)\) with radius \(5\) is:
Уравнение окружности с центром в точке \((2, 5)\) и радиусом \(5\):
Решение

Каноническое уравнение окружности с центром \((h, k)\) и радиусом \(r\): \((x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2\).

Центр задан как \((2, 5)\), значит \(h = 2\), \(k = 5\).

Радиус \(r = 5\), поэтому правая часть равна \(r^2 = 25\).

Получаем уравнение \((x-2)^2 + (y-5)^2 = 25\).

Ответ: B.

20Задача 206同角关系与和差公式Identities and sum formulasОсновные тождества и формулы суммы
若 \(\cos^2\alpha = \dfrac{1}{2}\)，则 \(\tan\alpha =\)？
If \(\cos^2\alpha = \dfrac{1}{2}\), then \(\tan\alpha =\)?
Если \(\cos^2\alpha = \dfrac{1}{2}\), то \(\tan\alpha =\)?
Решение

Из тождества \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\) находим \(\sin^2\alpha = 1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}\).

Вычисляем квадрат тангенса: \(\tan^2\alpha = \dfrac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \dfrac{1/2}{1/2} = 1\).

Извлекаем корень: \(\tan\alpha = \pm 1\).

Знак зависит от четверти, в которой находится угол \(\alpha\), поэтому подходят оба значения.

Ответ: B.

21Задача 207等比数列Geometric sequencesГеометрическая прогрессия
已知等比数列 \(\{a_n\}\) 的通项公式为 \(a_n = 2\cdot(-1)^{n+1}\)，则：
Given that the general term of the geometric sequence \(\{a_n\}\) is \(a_n = 2\cdot(-1)^{n+1}\), then:
Дано, что общий член геометрической прогрессии \(\{a_n\}\) равен \(a_n = 2\cdot(-1)^{n+1}\), тогда:
Решение

По формуле \(a_n = 2\cdot(-1)^{n+1}\) находим \(a_1 = 2\), \(a_2 = -2\), значит \(q = \dfrac{a_2}{a_1} = -1\), варианты A и B неверны.

\(a_{100} = 2\cdot(-1)^{101} = -2\), вариант C неверен.

Каждая пара соседних членов даёт в сумме \(2 + (-2) = 0\), таких пар в десяти членах пять.

\(S_{10} = 5\cdot 0 = 0\).

Ответ: D.

22Задача 208不等式性质与基本不等式Properties of inequalities, AM-GMСвойства неравенств, среднее арифметическое и геометрическое
已知 \(a > b\)，\(c \in \mathbb{R}\)，则：
Given that \(a > b\) and \(c \in \mathbb{R}\), then:
Дано, что \(a > b\) и \(c \in \mathbb{R}\), тогда:
Решение

Прибавление одного и того же числа к обеим частям неравенства сохраняет знак: из \(a > b\) следует \(a + c > b + c\).\nA неверно: \(a = 1\), \(b = -2\), тогда \(a^2 = 1 < 4 = b^2\).\nB неверно при \(c \le 0\): например, \(c = -1\) даёт \(ac < bc\).\nD неверно для того же примера: \(|1| < |-2|\).

Ответ: C.

23Задача 209幂函数与二次函数Power and quadratic functionsСтепенные и квадратичные функции
下列关于函数 \(y = x^2\) 说法正确的是：
Which of the following statements about the function \(y = x^2\) is correct?
Какое из следующих утверждений о функции \(y = x^2\) верно?
Решение

Функция \(y = x^2\) чётная: \((-x)^2 = x^2\), поэтому её график симметричен относительно оси \(y\).\nA неверно: симметрия относительно начала координат бывает у нечётных функций.\nB и D неверны: функция убывает при \(x < 0\) и возрастает при \(x > 0\), на всей области определения монотонной не является.

Ответ: C.

24Задача 210等差数列Arithmetic sequencesАрифметическая прогрессия
若数列 \(\{a_n\}\) 是等差数列，且 \(a_1 = 1\)，\(a_2 = 3\)，则 \(a_5 =\)？
If the sequence \(\{a_n\}\) is an arithmetic sequence, and \(a_1 = 1\), \(a_2 = 3\), then \(a_5 =\)?
Если последовательность \(\{a_n\}\) является арифметической прогрессией, причём \(a_1 = 1\), \(a_2 = 3\), то \(a_5 =\)?
Решение

Разность прогрессии \(d = a_2 - a_1 = 3 - 1 = 2\).

Общий член: \(a_n = a_1 + (n-1)d\).

\(a_5 = 1 + 4\cdot 2 = 9\).

Ответ: C.

25Задача 211二倍角与半角公式Double and half angleДвойной и половинный угол
若 \(\sin^2\alpha=\dfrac{1}{4}\)，则 \(\cos 2\alpha=\)。
If \(\sin^2\alpha=\dfrac{1}{4}\), then \(\cos 2\alpha=\).
Если \(\sin^2\alpha=\dfrac{1}{4}\), то \(\cos 2\alpha=\).
Решение

Формула двойного угла: \(\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha\).

Подставляем \(\sin^2\alpha = \dfrac{1}{4}\): \(\cos 2\alpha = 1 - 2\cdot\dfrac{1}{4} = 1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}\).

Ответ: C.

26Задача 212直线LinesПрямая
已知直线 \(l_1\)：\(y=x+3\)，直线 \(l_2\) 经过点 \(A(1,0)\) 和 \(B(0,1)\)，则直线 \(l_1\) 和直线 \(l_2\) 的交点为：
Given line \(l_1\): \(y=x+3\), and line \(l_2\) passing through points \(A(1,0)\) and \(B(0,1)\), the intersection point of \(l_1\) and \(l_2\) is:
Дана прямая \(l_1\): \(y=x+3\) и прямая \(l_2\), проходящая через точки \(A(1,0)\) и \(B(0,1)\). Точка пересечения прямых \(l_1\) и \(l_2\) равна:
Решение

Уравнение прямой \(l_2\), проходящей через точки \(A(1,0)\) и \(B(0,1)\), имеет вид \(y = -x + 1\).

Приравниваем правые части уравнений прямых: \(x + 3 = -x + 1\).

Решаем уравнение: \(2x = -2\), откуда \(x = -1\).

Подставляем \(x = -1\) в уравнение \(l_1\): \(y = -1 + 3 = 2\).

Точка пересечения прямых равна \((-1, 2)\).

Ответ: C.

27Задача 213圆CirclesОкружность
若圆经过点 \(A(2,2)\)，且圆心为 \((2,0)\)，则该圆的方程为：
If a circle passes through point \(A(2,2)\) and has center \((2,0)\), then the equation of the circle is:
Если окружность проходит через точку \(A(2,2)\) и имеет центр \((2,0)\), то уравнение окружности имеет вид:
Решение

Центр окружности находится в точке \((2, 0)\), поэтому её уравнение имеет вид \((x-2)^2 + y^2 = R^2\).

Окружность проходит через точку \(A(2, 2)\), подставляем координаты для нахождения радиуса.

Вычисляем квадрат радиуса: \(R^2 = (2-2)^2 + (2-0)^2 = 0 + 4 = 4\).

Записываем итоговое уравнение окружности: \((x-2)^2 + y^2 = 4\).

Ответ: C.

28Задача 214双曲线HyperbolasГипербола
双曲线 \(\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{9}=1\) 的焦点为：
The foci of the hyperbola \(\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{9}=1\) are:
Фокусы гиперболы \(\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{9}=1\) равны:
Решение

Из канонического уравнения гиперболы определяем параметры: \(a^2 = 16\) и \(b^2 = 9\).

Находим квадрат расстояния от центра до фокуса: \(c^2 = a^2 + b^2 = 16 + 9 = 25\).

Отсюда \(c = 5\).

Так как член с \(x^2\) положительный, фокусы расположены на оси абсцисс.

Координаты фокусов равны \((\pm 5, 0)\).

Ответ: D.

29Задача 215对数函数LogarithmsЛогарифмы
\(\dfrac{\log_5 8}{\log_{25} 4}+\log_5 1=\)。
\(\dfrac{\log_5 8}{\log_{25} 4}+\log_5 1=\).
\(\dfrac{\log_5 8}{\log_{25} 4}+\log_5 1=\).
Решение

Логарифм единицы по любому основанию равен нулю: \(\log_5 1 = 0\).

Переходим к основанию 5 во втором логарифме: \(\log_{25} 4 = \dfrac{\log_5 4}{\log_5 25} = \dfrac{\log_5 4}{2}\).

Делим первый логарифм на полученное выражение: \(\dfrac{\log_5 8}{\frac{\log_5 4}{2}} = \dfrac{2 \log_5 8}{\log_5 4}\).

Используем свойства логарифмов: \(\log_5 8 = 3 \log_5 2\) и \(\log_5 4 = 2 \log_5 2\).

Подставляем и сокращаем: \(\dfrac{2 \cdot 3 \log_5 2}{2 \log_5 2} = 3\).

Ответ: A.

30Задача 216等比数列Geometric sequencesГеометрическая прогрессия
若数列 \(\{a_n\}\) 为 \(\dfrac{1}{2},\;-\dfrac{1}{4},\;\dfrac{1}{8},\;\ldots\)，则通项 \(a_n=\)。
If the sequence \(\{a_n\}\) is \(\dfrac{1}{2},\;-\dfrac{1}{4},\;\dfrac{1}{8},\;\ldots\), then the general term \(a_n=\).
Если последовательность \(\{a_n\}\) имеет вид \(\dfrac{1}{2},\;-\dfrac{1}{4},\;\dfrac{1}{8},\;\ldots\), то общий член \(a_n=\).
Решение

Последовательность является геометрической прогрессией с первым членом \(a_1 = \dfrac{1}{2}\).

Находим знаменатель прогрессии: \(q = \dfrac{-1/4}{1/2} = -\dfrac{1}{2}\).

Формула общего члена геометрической прогрессии: \(a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\).

Подставляем значения: \(a_n = \dfrac{1}{2} \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}\).

Выносим знак минус из основания степени: \(a_n = (-1)^{n-1} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2^{n-1}} = (-1)^{n-1} \cdot \dfrac{1}{2^n}\).

Ответ: C.

31Задача 217三角函数图象与性质Trigonometric graphs and propertiesГрафики и свойства тригонометрических функций
下列关于函数 \(y=\cos x\) 说法正确的是：
Which of the following statements about the function \(y=\cos x\) is correct?
Какое из следующих утверждений о функции \(y=\cos x\) верно?
Решение

График \(y=\cos x\) симметричен относительно оси ординат, а не начала координат, A неверно.

Уравнение \(\cos x=0\) имеет решения \(x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k\), \(k\in\mathbb{Z}\), то есть нулей бесконечно много, B верно.

\(\cos\pi=-1\), а \(\cos 2\pi=1\), значения не равны, C неверно.

На \([2\pi,3\pi]\) косинус сначала убывает, затем возрастает, монотонности нет, D неверно.

Ответ: B.

32Задача 218抛物线ParabolasПарабола
关于抛物线 \(y=\dfrac{x^2}{4}\)，下列说法正确的是：
Which of the following statements about the parabola \(y=\dfrac{x^2}{4}\) is correct?
Какое из следующих утверждений о параболе \(y=\dfrac{x^2}{4}\) верно?
Решение

Приведём уравнение параболы к каноническому виду: \(x^2 = 4y\).

Сравнивая с формулой \(x^2 = 2py\), получаем \(2p = 4\), откуда \(p = 2\).

Фокус параболы находится в точке \((0, \dfrac{p}{2}) = (0, 1)\), поэтому вариант C неверен.

Директриса задаётся уравнением \(y = -\dfrac{p}{2} = -1\).

Ось симметрии — прямая \(x = 0\), а не \(y = 0\), что исключает вариант A.

При \(x = 4\) значение \(y = \dfrac{16}{4} = 4 \neq -4\), поэтому вариант B неверен.

Ответ: D.

33Задача 219直线LinesПрямая
关于三条直线 \(l_1:x+2y+1=0\)，\(l_2:x-y=0\)，\(l_3:2x-y+8=0\)，下列说法正确的是：
Which of the following statements about the three lines \(l_1:x+2y+1=0\), \(l_2:x-y=0\), \(l_3:2x-y+8=0\) is correct?
Какое из следующих утверждений о трёх прямых \(l_1:x+2y+1=0\), \(l_2:x-y=0\), \(l_3:2x-y+8=0\) верно?
Решение

Угловые коэффициенты: \( l_1: y=-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2} \), \( k_1=-\dfrac{1}{2} \); \( l_2: k_2=1 \); \( l_3: k_3=2 \).

Параллельность требует равных коэффициентов: \( k_1\neq k_2 \) и \( k_1\neq k_3 \), варианты A и C неверны.

Перпендикулярность: \( k_1k_2=-\dfrac{1}{2}\neq -1 \), вариант B неверен; \( k_1k_3=-\dfrac{1}{2}\cdot 2=-1 \), значит \( l_1\perp l_3 \).

Ответ: D.

34Задача 220同角关系与和差公式Identities and sum formulasОсновные тождества и формулы суммы
已知 \(\tan\dfrac{\pi}{4}=1\)，\(\tan\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)，则 \(\tan\dfrac{\pi}{12}=\)
Given that \(\tan\dfrac{\pi}{4}=1\) and \(\tan\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\), then \(\tan\dfrac{\pi}{12}=\)
Дано, что \(\tan\dfrac{\pi}{4}=1\) и \(\tan\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\), тогда \(\tan\dfrac{\pi}{12}=\)
Решение

Представим угол как разность: \(\dfrac{\pi}{12} = \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\pi}{6}\).

Применим формулу тангенса разности: \(\tan(A - B) = \dfrac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}\).

Подставим известные значения: \(\tan\dfrac{\pi}{12} = \dfrac{1 - \dfrac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{3}}\).

Умножим числитель и знаменатель на 3: \(\dfrac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}\).

Избавимся от иррациональности, умножив на сопряжённое выражение \(3 - \sqrt{3}\): \(\dfrac{(3 - \sqrt{3})^2}{9 - 3} = \dfrac{12 - 6\sqrt{3}}{6} = 2 - \sqrt{3}\).

Ответ: C.

35Задача 221定义域与值域Domain and rangeОбласть определения и значений
函数 \(y=\dfrac{\sqrt{x+3}}{x-2}+3\log x\) 的定义域是：
The domain of the function \(y=\dfrac{\sqrt{x+3}}{x-2}+3\log x\) is:
Область определения функции \(y=\dfrac{\sqrt{x+3}}{x-2}+3\log x\):
Решение

Область определения функции задаётся системой ограничений для каждого её элемента.

Выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным: \(x + 3 \geq 0\), откуда \(x \geq -3\).

Знаменатель дроби не может равняться нулю: \(x - 2 \neq 0\), то есть \(x \neq 2\).

Аргумент логарифма должен быть строго положительным: \(x > 0\).

Пересечение условий \(x \geq -3\) и \(x > 0\) даёт \(x > 0\).

Исключая точку \(x = 2\), получаем область определения \((0, 2) \cup (2, +\infty)\).

Ответ: C.

36Задача 222二倍角与半角公式Double and half angleДвойной и половинный угол
若 \(\alpha\in\left[\dfrac{3\pi}{2},2\pi\right]\)，且 \(\cos\alpha=\dfrac{3}{5}\)，则 \(\sin\dfrac{\alpha}{2}=\)
If \(\alpha\in\left[\dfrac{3\pi}{2},2\pi\right]\) and \(\cos\alpha=\dfrac{3}{5}\), then \(\sin\dfrac{\alpha}{2}=\)
Если \(\alpha\in\left[\dfrac{3\pi}{2},2\pi\right]\) и \(\cos\alpha=\dfrac{3}{5}\), то \(\sin\dfrac{\alpha}{2}=\)
Решение

Из условия \(\alpha \in \left[\dfrac{3\pi}{2}, 2\pi\right]\) следует, что \(\dfrac{\alpha}{2} \in \left[\dfrac{3\pi}{4}, \pi\right]\).

В этом промежутке синус положителен, поэтому берём только знак плюс в формуле половинного угла.

Применим формулу: \(\sin\dfrac{\alpha}{2} = \sqrt{\dfrac{1 - \cos\alpha}{2}}\).

Подставим \(\cos\alpha = \dfrac{3}{5}\): \(\sin\dfrac{\alpha}{2} = \sqrt{\dfrac{1 - \dfrac{3}{5}}{2}} = \sqrt{\dfrac{\dfrac{2}{5}}{2}} = \sqrt{\dfrac{1}{5}}\).

Упростим результат: \(\sqrt{\dfrac{1}{5}} = \dfrac{1}{\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{5}}{5}\).

Ответ: A.

37Задача 223任意角与诱导公式Angles, values and reduction formulasУглы, значения и формулы приведения
关于诱导公式，下列表达式正确的是：
Which of the following expressions about reduction formulas is correct?
Какое из следующих выражений для формул приведения является верным?
Решение

Проверяем вариант A: \( \sin(\pi + \alpha) = -\sin \alpha \), знак неверный.

Вариант B: \( \cos(2\pi - \alpha) = \cos \alpha \), косинус периодичен с \( 2\pi \) и чётен, верно.

Вариант C: \( \tan(\pi + \alpha) = \tan \alpha \), знак неверный.

Вариант D: \( \sin\left(\dfrac{\pi}{2} + \alpha\right) = \cos \alpha \), а не \( \sin \alpha \).

Ответ: B.

38Задача 224二倍角与半角公式Double and half angleДвойной и половинный угол
已知 \(\cos\alpha = -\dfrac{1}{2}\) ， \(\alpha \in \left(\dfrac{\pi}{2},\,\pi\right)\) ，则 \(\sin\dfrac{\alpha}{2}\) 的值是：
Given that \(\cos\alpha = -\dfrac{1}{2}\) and \(\alpha \in \left(\dfrac{\pi}{2},\,\pi\right)\), the value of \(\sin\dfrac{\alpha}{2}\) is:
Известно, что \(\cos\alpha = -\dfrac{1}{2}\) и \(\alpha \in \left(\dfrac{\pi}{2},\,\pi\right)\). Тогда значение \(\sin\dfrac{\alpha}{2}\) равно:
Решение

По формуле половинного угла \( \sin^2\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{1 - \cos\alpha}{2} \).

Подставляем: \( \sin^2\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{1 + \dfrac{1}{2}}{2} = \dfrac{3}{4} \).

Так как \( \alpha \in \left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right) \), то \( \dfrac{\alpha}{2} \in \left(\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{2}\right) \), синус положителен.

Значит \( \sin\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \).

Ответ: D.

39Задача 225三角函数图象与性质Trigonometric graphs and propertiesГрафики и свойства тригонометрических функций
下列关于函数 \(y = \tan(-2x)\) 的说法，正确的是：
Which of the following statements about the function \(y = \tan(-2x)\) is correct?
Какое из следующих утверждений о функции \(y = \tan(-2x)\) является верным?
Решение

Тангенс не ограничен, поэтому A неверно.

Область определения исключает точки \( x = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{k\pi}{2} \), поэтому B неверно.

Период равен \( \dfrac{\pi}{2} \), а не \( \pi \), поэтому C неверно.

На \( \left(-\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{4}\right) \) аргумент \( -2x \) убывает, а тангенс возрастает, значит функция убывает.

Ответ: D.

40Задача 226椭圆EllipsesЭллипс
若椭圆 \(C\) 的中心在原点，焦点在 \(y\) 轴上，焦距为 4，离心率为 \(\dfrac{2}{3}\) ，则 \(C\) 的方程是：
If the center of ellipse \(C\) is at the origin, its foci are on the \(y\)-axis, the focal distance is 4, and the eccentricity is \(\dfrac{2}{3}\), then the equation of \(C\) is:
Если центр эллипса \(C\) находится в начале координат, его фокусы лежат на оси \(y\), фокусное расстояние равно 4, а эксцентриситет равен \(\dfrac{2}{3}\), то уравнение \(C\) имеет вид:
Решение

Фокусное расстояние \( 2c = 4 \), значит \( c = 2 \).

Эксцентриситет \( e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{2}{3} \), откуда \( a = 3 \), \( a^2 = 9 \).

Тогда \( b^2 = a^2 - c^2 = 9 - 4 = 5 \).

Фокусы на оси \( y \), большая полуось вдоль \( y \): \( \dfrac{x^2}{5} + \dfrac{y^2}{9} = 1 \).

Ответ: C.

41Задача 227递推数列与数列求和Recurrences and sumsРекуррентные последовательности и суммы
若数列 \(\{a_n\}\) 的前 \(n\) 项和 \(S_n = n^3 + n^2 + n\)，则通项 \(a_n =\)
If the sum of the first \(n\) terms of the sequence \(\{a_n\}\) is \(S_n = n^3 + n^2 + n\), then the general term \(a_n =\)
Если сумма первых \(n\) членов последовательности \(\{a_n\}\) равна \(S_n = n^3 + n^2 + n\), то общий член \(a_n =\)
Решение

Для \( n \geq 2 \): \( a_n = S_n - S_{n-1} = n^3 + n^2 + n - \left((n-1)^3 + (n-1)^2 + (n-1)\right) \).

Раскрываем: \( (n-1)^3 = n^3 - 3n^2 + 3n - 1 \), \( (n-1)^2 = n^2 - 2n + 1 \).

Вычитаем: \( a_n = 3n^2 - 3n + 1 + 2n - 1 + 1 = 3n^2 - n + 1 \).

Проверка: \( a_1 = S_1 = 3 \), и по формуле \( 3 - 1 + 1 = 3 \), совпадает.

Ответ: A.

42Задача 228对数函数LogarithmsЛогарифмы
关于对数函数下面说法正确的是：
Which of the following statements about logarithmic functions is correct?
Какое из следующих утверждений о логарифмических функциях является верным?
Решение

При \(a>1\) функция \(\log_a t\) возрастает, поэтому из \(\log_a x > \log_a x^2\) следует \(x > x^2\) при \(x>0\).

Неравенство \(x > x^2\) равносильно \(x(1-x)>0\), откуда \(0<x<1\), вариант B верен.

Проверка A: \(\log_2 3 \approx 1{,}58\), \(\log_3 5 \approx 1{,}46\), неравенство неверно.

Проверка C: \(\log_{100} 10 = \dfrac{1}{2}\), а \(\log_{10} 1 = 0\), равенства нет.

Проверка D: при \(x=2\), \(a=2\), \(b=3\) имеем \(\log_2 2 = 1 > \log_3 2\), но \(a<b\), утверждение неверно.

Ответ: B.

43Задача 229椭圆EllipsesЭллипс
下列关于椭圆 \(\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\)（ \(a, b > 0\) ）的说法，正确的是：
Which of the following statements about the ellipse \(\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\) ( \(a, b > 0\) ) is correct?
Какое из следующих утверждений об эллипсе \(\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\) ( \(a, b > 0\) ) верно?
Решение

Уравнение \( \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \) — каноническое уравнение эллипса с центром в начале координат, поэтому C верно.\nA неверно: без условия \( a > b \) фокусы могут лежать и на оси \( y \).\nB неверно: сумма расстояний до фокусов равна удвоенной большой полуоси, а \( a \) не обязана быть большей.\nD неверно: эксцентриситет равен \( e = \dfrac{c}{a} \) при \( a > b \), а не \( \dfrac{b}{a} \).

Ответ: C.

44Задача 230向量VectorsВекторы
已知平面向量 \(\boldsymbol{a},\,\boldsymbol{b}\) 满足 \(|\boldsymbol{a}|=1\)， \(|\boldsymbol{b}|=1\)， \(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=-\dfrac{1}{2}\)，且 \(\boldsymbol{c}=\lambda\boldsymbol{a}+(1-\lambda)\boldsymbol{b}\)（ \(\lambda\in\mathbb{R}\) ），则 \(|\boldsymbol{c}|\) 的最小值为：
Given that plane vectors \(\boldsymbol{a},\,\boldsymbol{b}\) satisfy \(|\boldsymbol{a}|=1\), \(|\boldsymbol{b}|=1\), \(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=-\dfrac{1}{2}\), and \(\boldsymbol{c}=\lambda\boldsymbol{a}+(1-\lambda)\boldsymbol{b}\) ( \(\lambda\in\mathbb{R}\) ), the minimum value of \(|\boldsymbol{c}|\) is:
Даны плоские векторы \(\boldsymbol{a},\,\boldsymbol{b}\), удовлетворяющие условиям \(|\boldsymbol{a}|=1\), \(|\boldsymbol{b}|=1\), \(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=-\dfrac{1}{2}\), и \(\boldsymbol{c}=\lambda\boldsymbol{a}+(1-\lambda)\boldsymbol{b}\) ( \(\lambda\in\mathbb{R}\) ). Наименьшее значение \(|\boldsymbol{c}|\) равно:
Решение

\( |\boldsymbol{c}|^2 = \lambda^2|\boldsymbol{a}|^2 + 2\lambda(1-\lambda)\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} + (1-\lambda)^2|\boldsymbol{b}|^2 \).

Подставляем \( |\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|=1 \), \( \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=-\dfrac{1}{2} \): \( |\boldsymbol{c}|^2 = \lambda^2 - \lambda(1-\lambda) + (1-\lambda)^2 = 3\lambda^2 - 3\lambda + 1 \).

Минимум квадратичной функции при \( \lambda = \dfrac{1}{2} \): \( 3\cdot\dfrac{1}{4} - \dfrac{3}{2} + 1 = \dfrac{1}{4} \).

Тогда \( |\boldsymbol{c}|_{\min} = \sqrt{\dfrac{1}{4}} = \dfrac{1}{2} \).

Ответ: A.

45Задача 231等比数列Geometric sequencesГеометрическая прогрессия
设等比数列 \(\{a_n\}\) 的前 \(n\) 项和为 \(S_n\)，且 \(2S_n = 3a_{n+1} - 3\)（ \(n = 1, 2, \ldots\) ），则 \(S_n\) =
Let the sum of the first \(n\) terms of a geometric sequence \(\{a_n\}\) be \(S_n\), and \(2S_n = 3a_{n+1} - 3\) ( \(n = 1, 2, \ldots\) ), then \(S_n\) =
Пусть \(S_n\) — сумма первых \(n\) членов геометрической прогрессии \(\{a_n\}\), причём \(2S_n = 3a_{n+1} - 3\) ( \(n = 1, 2, \ldots\) ). Тогда \(S_n\) =
Решение

При \( n = 1 \): \( 2a_1 = 3a_2 - 3 \), а \( a_2 = qa_1 \), значит \( a_1(2 - 3q) = -3 \).

Записываем условие для \( n \) и \( n-1 \) и вычитаем: \( 2a_n = 3a_{n+1} - 3a_n \), то есть \( 3a_{n+1} = 5a_n \), \( q = \dfrac{5}{3} \).

Подставляем \( q = \dfrac{5}{3} \): \( a_1(2 - 5) = -3 \), откуда \( a_1 = 1 \).

Сумма геометрической прогрессии: \( S_n = \dfrac{a_1(q^n - 1)}{q - 1} = \dfrac{\left(\dfrac{5}{3}\right)^n - 1}{\dfrac{2}{3}} = \dfrac{3}{2}\left(\dfrac{5}{3}\right)^n - \dfrac{3}{2} \).

Ответ: B.

46Задача 232复数Complex numbersКомплексные числа
若 \(z = -1 + i\)，其中 \(i\) 为虚数单位，则 \(\dfrac{z+1}{z+2} + \dfrac{z+2}{z+1}\) =
If \(z = -1 + i\), where \(i\) is the imaginary unit, then \(\dfrac{z+1}{z+2} + \dfrac{z+2}{z+1}\) =
Если \(z = -1 + i\), где \(i\) — мнимая единица, то \(\dfrac{z+1}{z+2} + \dfrac{z+2}{z+1}\) =
Решение

\( z + 1 = i \), \( z + 2 = 1 + i \).

\( \dfrac{z+1}{z+2} = \dfrac{i}{1+i} = \dfrac{i(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \dfrac{1+i}{2} \).

\( \dfrac{z+2}{z+1} = \dfrac{1+i}{i} = \dfrac{(1+i)(-i)}{i\cdot(-i)} = 1 - i \).

Складываем: \( \dfrac{1+i}{2} + (1 - i) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}i + 1 - i = \dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{2}i \).

Ответ: C.

47Задача 233等差数列Arithmetic sequencesАрифметическая прогрессия
已知 \(\{a_n\}\) 满足 \(a_1 = \dfrac{1}{2}\)， \(a_{n+1} = \dfrac{a_n}{1+2a_n}\)，令 \(b_n = \dfrac{1}{a_n}\)，则 \(S_n = b_1 + b_2 + \cdots + b_n\) =
Given that \(\{a_n\}\) satisfies \(a_1 = \dfrac{1}{2}\), \(a_{n+1} = \dfrac{a_n}{1+2a_n}\), let \(b_n = \dfrac{1}{a_n}\), then \(S_n = b_1 + b_2 + \cdots + b_n\) =
Дано, что \(\{a_n\}\) удовлетворяет условиям \(a_1 = \dfrac{1}{2}\), \(a_{n+1} = \dfrac{a_n}{1+2a_n}\). Пусть \(b_n = \dfrac{1}{a_n}\), тогда \(S_n = b_1 + b_2 + \cdots + b_n\) =
Решение

\( b_{n+1} = \dfrac{1}{a_{n+1}} = \dfrac{1 + 2a_n}{a_n} = \dfrac{1}{a_n} + 2 = b_n + 2 \).

Значит \( \{b_n\} \) — арифметическая прогрессия с разностью \( 2 \).

\( b_1 = \dfrac{1}{a_1} = 2 \), поэтому \( b_n = 2 + 2(n-1) = 2n \).

\( S_n = 2 + 4 + \cdots + 2n = 2\cdot\dfrac{n(n+1)}{2} = n(n+1) \).

Ответ: A.

48Задача 234古典概型Classical probabilityКлассическая вероятность
已知有 \(n\) 个编号互不相同的白球和 \(n\) 个编号互不相同的红球。现从中随机取出 \(n\) 个球，设取出球的颜色交替出现（白、红、白、……；或红、白、红、……）的概率为 \(P(n)\)，则下列关系正确的是：
There are \(n\) white balls with distinct labels and \(n\) red balls with distinct labels. From these, \(n\) balls are randomly selected. Let \(P(n)\) be the probability that the colors of the selected balls alternate (white, red, white, …; or red, white, red, …). Which of the following relations is correct?
Имеется \(n\) белых шаров с различными номерами и \(n\) красных шаров с различными номерами. Из них случайным образом выбирают \(n\) шаров. Пусть \(P(n)\) — вероятность того, что цвета выбранных шаров чередуются (белый, красный, белый, …; или красный, белый, красный, …). Какое из следующих соотношений верно?
Решение

Шары вынимают по одному, порядок важен: всего последовательностей \(2n(2n-1)\cdots(n+1)\).

При чётном \(n=2k\) чередующихся последовательностей \(2\cdot\left(n(n-1)\cdots(n-k+1)\right)^2\): выбираем, с какого цвета начать, и по порядку ставим \(k\) белых и \(k\) красных.

\(P(2)=\dfrac{2\cdot 2^2}{4\cdot 3}=\dfrac{2}{3}\), \(P(4)=\dfrac{2\cdot(4\cdot 3)^2}{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5}=\dfrac{6}{35}\), \(P(6)=\dfrac{2\cdot(6\cdot 5\cdot 4)^2}{12\cdot 11\cdot 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7}=\dfrac{10}{231}\).

\(\dfrac{2}{3}>\dfrac{6}{35}>\dfrac{10}{231}\), то есть \(P(2)>P(4)>P(6)\).

Ответ: A.