若 \(\alpha\in\left[\dfrac{3\pi}{2},2\pi\right]\)，且 \(\cos\alpha=\dfrac{3}{5}\)，则 \(\sin\dfrac{\alpha}{2}=\)
If \(\alpha\in\left[\dfrac{3\pi}{2},2\pi\right]\) and \(\cos\alpha=\dfrac{3}{5}\), then \(\sin\dfrac{\alpha}{2}=\)
Если \(\alpha\in\left[\dfrac{3\pi}{2},2\pi\right]\) и \(\cos\alpha=\dfrac{3}{5}\), то \(\sin\dfrac{\alpha}{2}=\)
Решение
Из условия \(\alpha \in \left[\dfrac{3\pi}{2}, 2\pi\right]\) следует, что \(\dfrac{\alpha}{2} \in \left[\dfrac{3\pi}{4}, \pi\right]\).
В этом промежутке синус положителен, поэтому берём только знак плюс в формуле половинного угла.
Применим формулу: \(\sin\dfrac{\alpha}{2} = \sqrt{\dfrac{1 - \cos\alpha}{2}}\).
Подставим \(\cos\alpha = \dfrac{3}{5}\): \(\sin\dfrac{\alpha}{2} = \sqrt{\dfrac{1 - \dfrac{3}{5}}{2}} = \sqrt{\dfrac{\dfrac{2}{5}}{2}} = \sqrt{\dfrac{1}{5}}\).
Упростим результат: \(\sqrt{\dfrac{1}{5}} = \dfrac{1}{\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{5}}{5}\).
Ответ: A.