若数列 \(\{a_n\}\) 的前 \(n\) 项和 \(S_n = n^3 + n^2 + n\)，则通项 \(a_n =\)
If the sum of the first \(n\) terms of the sequence \(\{a_n\}\) is \(S_n = n^3 + n^2 + n\), then the general term \(a_n =\)
Если сумма первых \(n\) членов последовательности \(\{a_n\}\) равна \(S_n = n^3 + n^2 + n\), то общий член \(a_n =\)
Решение
Для \( n \geq 2 \): \( a_n = S_n - S_{n-1} = n^3 + n^2 + n - \left((n-1)^3 + (n-1)^2 + (n-1)\right) \).
Раскрываем: \( (n-1)^3 = n^3 - 3n^2 + 3n - 1 \), \( (n-1)^2 = n^2 - 2n + 1 \).
Вычитаем: \( a_n = 3n^2 - 3n + 1 + 2n - 1 + 1 = 3n^2 - n + 1 \).
Проверка: \( a_1 = S_1 = 3 \), и по формуле \( 3 - 1 + 1 = 3 \), совпадает.
Ответ: A.