已知平面向量 \(\boldsymbol{a},\,\boldsymbol{b}\) 满足 \(|\boldsymbol{a}|=1\)， \(|\boldsymbol{b}|=1\)， \(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=-\dfrac{1}{2}\)，且 \(\boldsymbol{c}=\lambda\boldsymbol{a}+(1-\lambda)\boldsymbol{b}\)（ \(\lambda\in\mathbb{R}\) ），则 \(|\boldsymbol{c}|\) 的最小值为：
Given that plane vectors \(\boldsymbol{a},\,\boldsymbol{b}\) satisfy \(|\boldsymbol{a}|=1\), \(|\boldsymbol{b}|=1\), \(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=-\dfrac{1}{2}\), and \(\boldsymbol{c}=\lambda\boldsymbol{a}+(1-\lambda)\boldsymbol{b}\) ( \(\lambda\in\mathbb{R}\) ), the minimum value of \(|\boldsymbol{c}|\) is:
Даны плоские векторы \(\boldsymbol{a},\,\boldsymbol{b}\), удовлетворяющие условиям \(|\boldsymbol{a}|=1\), \(|\boldsymbol{b}|=1\), \(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=-\dfrac{1}{2}\), и \(\boldsymbol{c}=\lambda\boldsymbol{a}+(1-\lambda)\boldsymbol{b}\) ( \(\lambda\in\mathbb{R}\) ). Наименьшее значение \(|\boldsymbol{c}|\) равно:
Решение
\( |\boldsymbol{c}|^2 = \lambda^2|\boldsymbol{a}|^2 + 2\lambda(1-\lambda)\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} + (1-\lambda)^2|\boldsymbol{b}|^2 \).
Подставляем \( |\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|=1 \), \( \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=-\dfrac{1}{2} \): \( |\boldsymbol{c}|^2 = \lambda^2 - \lambda(1-\lambda) + (1-\lambda)^2 = 3\lambda^2 - 3\lambda + 1 \).
Минимум квадратичной функции при \( \lambda = \dfrac{1}{2} \): \( 3\cdot\dfrac{1}{4} - \dfrac{3}{2} + 1 = \dfrac{1}{4} \).
Тогда \( |\boldsymbol{c}|_{\min} = \sqrt{\dfrac{1}{4}} = \dfrac{1}{2} \).
Ответ: A.