CSCA · Математика

向量VectorsВекторы

7 задач · текстом

Задача 45向量VectorsВекторы2025年12月, № 45December 2025, № 45Декабрь 2025, № 45
已知 \(O\) 为坐标原点，\(A\) 和 \(B\) 是平面上的两个点，\(P\) 为 \(AB\) 中点，则向量 \(\overrightarrow{OP}=\)
Given that \(O\) is the origin, \(A\) and \(B\) are two points on the plane, and \(P\) is the midpoint of \(AB\), then the vector \(\overrightarrow{OP}=\)
Дано, что \(O\) — начало координат, \(A\) и \(B\) — две точки на плоскости, а \(P\) — середина отрезка \(AB\). Тогда вектор \(\overrightarrow{OP}=\)
Решение

По правилу сложения векторов \(\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}\).

Так как \(P\) — середина отрезка \(AB\), вектор \(\overrightarrow{AP}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\).

Вектор \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\), поэтому \(\overrightarrow{AP}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})\).

Подставляя, получаем \(\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})\).

Ответ: A.

Задача 92向量VectorsВекторы2026年1月, № 44January 2026, № 44Январь 2026, № 44
已知向量 \(\vec{AB}=a+5b\)，\(\vec{BC}=-2a+8b\)，\(\vec{CD}=3a-3b\)。因此，：
Given vectors \(\vec{AB}=a+5b\), \(\vec{BC}=-2a+8b\), \(\vec{CD}=3a-3b\). Thus, :
Даны векторы \(\vec{AB}=a+5b\), \(\vec{BC}=-2a+8b\), \(\vec{CD}=3a-3b\). Следовательно, :
Решение

Найдём вектор \(\vec{BD}=\vec{BC}+\vec{CD}=(-2a+8b)+(3a-3b)=a+5b\).

Сравниваем с \(\vec{AB}=a+5b\) и видим, что \(\vec{BD}=\vec{AB}\).

Векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{BD}\) равны, значит они коллинеарны и имеют общую точку \(B\).

Следовательно, точки \(A\), \(B\) и \(D\) лежат на одной прямой.

Ответ: B.

Задача 182向量VectorsВекторы2026年4月, № 44April 2026, № 44Апрель 2026, № 44
设 \(ABCD\) 是正方形，\(E\) 是 \(CD\) 的中点，\(\vec{AB}=\vec{a}\)，\(\vec{AD}=\vec{b}\)，则 \(\vec{BE}=\)
Let \(ABCD\) be a square, \(E\) is the midpoint of \(CD\). Given \(\vec{AB}=\vec{a}\) and \(\vec{AD}=\vec{b}\), then \(\vec{BE}=\)
Пусть \(ABCD\) — квадрат, \(E\) — середина \(CD\). Дано \(\vec{AB}=\vec{a}\) и \(\vec{AD}=\vec{b}\). Тогда \(\vec{BE}=\)
Решение

\(\vec{BE}=\vec{BC}+\vec{CE}\).

\(\vec{BC}=\vec{AD}=\vec{b}\) как противоположные стороны квадрата.

\(E\) — середина \(CD\), поэтому \(\vec{CE}=\dfrac{1}{2}\vec{CD}=-\dfrac{1}{2}\vec{AB}=-\dfrac{1}{2}\vec{a}\).

\(\vec{BE}=\vec{b}-\dfrac{1}{2}\vec{a}\).

Ответ: B.

Задача 230向量VectorsВекторы2026年6月, № 44June 2026, № 44Июнь 2026, № 44
已知平面向量 \(\boldsymbol{a},\,\boldsymbol{b}\) 满足 \(|\boldsymbol{a}|=1\)， \(|\boldsymbol{b}|=1\)， \(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=-\dfrac{1}{2}\)，且 \(\boldsymbol{c}=\lambda\boldsymbol{a}+(1-\lambda)\boldsymbol{b}\)（ \(\lambda\in\mathbb{R}\) ），则 \(|\boldsymbol{c}|\) 的最小值为：
Given that plane vectors \(\boldsymbol{a},\,\boldsymbol{b}\) satisfy \(|\boldsymbol{a}|=1\), \(|\boldsymbol{b}|=1\), \(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=-\dfrac{1}{2}\), and \(\boldsymbol{c}=\lambda\boldsymbol{a}+(1-\lambda)\boldsymbol{b}\) ( \(\lambda\in\mathbb{R}\) ), the minimum value of \(|\boldsymbol{c}|\) is:
Даны плоские векторы \(\boldsymbol{a},\,\boldsymbol{b}\), удовлетворяющие условиям \(|\boldsymbol{a}|=1\), \(|\boldsymbol{b}|=1\), \(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=-\dfrac{1}{2}\), и \(\boldsymbol{c}=\lambda\boldsymbol{a}+(1-\lambda)\boldsymbol{b}\) ( \(\lambda\in\mathbb{R}\) ). Наименьшее значение \(|\boldsymbol{c}|\) равно:
Решение

\( |\boldsymbol{c}|^2 = \lambda^2|\boldsymbol{a}|^2 + 2\lambda(1-\lambda)\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} + (1-\lambda)^2|\boldsymbol{b}|^2 \).

Подставляем \( |\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|=1 \), \( \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=-\dfrac{1}{2} \): \( |\boldsymbol{c}|^2 = \lambda^2 - \lambda(1-\lambda) + (1-\lambda)^2 = 3\lambda^2 - 3\lambda + 1 \).

Минимум квадратичной функции при \( \lambda = \dfrac{1}{2} \): \( 3\cdot\dfrac{1}{4} - \dfrac{3}{2} + 1 = \dfrac{1}{4} \).

Тогда \( |\boldsymbol{c}|_{\min} = \sqrt{\dfrac{1}{4}} = \dfrac{1}{2} \).

Ответ: A.

Задача 278向量VectorsВекторы模拟卷 CSCA Math Exam, № 44Mock: CSCA Math Exam, № 44Пробник CSCA Math Exam, № 44
设向量 \(\vec{a}=(-1,2)\)，\(\vec{b}=(3,-1)\)，则 \(3\vec{a}-\vec{b}=\)
Given vectors \(\vec{a}=(-1,2)\) and \(\vec{b}=(3,-1)\), then \(3\vec{a}-\vec{b}=\)
Даны векторы \(\vec{a}=(-1,2)\) и \(\vec{b}=(3,-1)\). Тогда \(3\vec{a}-\vec{b}=\)
Решение

\(3\vec{a}=3(-1,2)=(-3,6)\).

\(3\vec{a}-\vec{b}=(-3,6)-(3,-1)=(-3-3,\,6-(-1))=(-6,7)\).

Ответ: D.

Задача 296向量VectorsВекторы模拟卷 Crossline, № 14Mock: Crossline, № 14Пробник Crossline, № 14
若单位向量 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 满足 \(|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{3}\)，则 \(|\vec{a}+2\vec{b}|\) 等于：
If the unit vectors \(\vec{a}\) and \(\vec{b}\) satisfy \(|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{3}\), then \(|\vec{a}+2\vec{b}|\) equals:
Если единичные векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) удовлетворяют условию \(|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{3}\), то \(|\vec{a}+2\vec{b}|\) равно:
Решение

\(|\vec{a}-\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2-2\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{b}|^2=1-2\vec{a}\cdot\vec{b}+1=3\), откуда \(\vec{a}\cdot\vec{b}=-\dfrac{1}{2}\).

\(|\vec{a}+2\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+4\vec{a}\cdot\vec{b}+4|\vec{b}|^2=1-2+4=7\).

Значит \(|\vec{a}+2\vec{b}|=\sqrt{7}\).

Ответ: C.