设等比数列 \(\{a_n\}\) 的前 \(n\) 项和为 \(S_n\)，且 \(2S_n = 3a_{n+1} - 3\)（ \(n = 1, 2, \ldots\) ），则 \(S_n\) =
Let the sum of the first \(n\) terms of a geometric sequence \(\{a_n\}\) be \(S_n\), and \(2S_n = 3a_{n+1} - 3\) ( \(n = 1, 2, \ldots\) ), then \(S_n\) =
Пусть \(S_n\) — сумма первых \(n\) членов геометрической прогрессии \(\{a_n\}\), причём \(2S_n = 3a_{n+1} - 3\) ( \(n = 1, 2, \ldots\) ). Тогда \(S_n\) =
Решение
При \( n = 1 \): \( 2a_1 = 3a_2 - 3 \), а \( a_2 = qa_1 \), значит \( a_1(2 - 3q) = -3 \).
Записываем условие для \( n \) и \( n-1 \) и вычитаем: \( 2a_n = 3a_{n+1} - 3a_n \), то есть \( 3a_{n+1} = 5a_n \), \( q = \dfrac{5}{3} \).
Подставляем \( q = \dfrac{5}{3} \): \( a_1(2 - 5) = -3 \), откуда \( a_1 = 1 \).
Сумма геометрической прогрессии: \( S_n = \dfrac{a_1(q^n - 1)}{q - 1} = \dfrac{\left(\dfrac{5}{3}\right)^n - 1}{\dfrac{2}{3}} = \dfrac{3}{2}\left(\dfrac{5}{3}\right)^n - \dfrac{3}{2} \).
Ответ: B.