已知 \(\{a_n\}\) 满足 \(a_1 = \dfrac{1}{2}\)， \(a_{n+1} = \dfrac{a_n}{1+2a_n}\)，令 \(b_n = \dfrac{1}{a_n}\)，则 \(S_n = b_1 + b_2 + \cdots + b_n\) =
Given that \(\{a_n\}\) satisfies \(a_1 = \dfrac{1}{2}\), \(a_{n+1} = \dfrac{a_n}{1+2a_n}\), let \(b_n = \dfrac{1}{a_n}\), then \(S_n = b_1 + b_2 + \cdots + b_n\) =
Дано, что \(\{a_n\}\) удовлетворяет условиям \(a_1 = \dfrac{1}{2}\), \(a_{n+1} = \dfrac{a_n}{1+2a_n}\). Пусть \(b_n = \dfrac{1}{a_n}\), тогда \(S_n = b_1 + b_2 + \cdots + b_n\) =
Решение
\( b_{n+1} = \dfrac{1}{a_{n+1}} = \dfrac{1 + 2a_n}{a_n} = \dfrac{1}{a_n} + 2 = b_n + 2 \).
Значит \( \{b_n\} \) — арифметическая прогрессия с разностью \( 2 \).
\( b_1 = \dfrac{1}{a_1} = 2 \), поэтому \( b_n = 2 + 2(n-1) = 2n \).
\( S_n = 2 + 4 + \cdots + 2n = 2\cdot\dfrac{n(n+1)}{2} = n(n+1) \).
Ответ: A.