CSCA · Математика

等差数列Arithmetic sequencesАрифметическая прогрессия

18 задач · текстом

Задача 5等差数列Arithmetic sequencesАрифметическая прогрессия2025年12月, № 5December 2025, № 5Декабрь 2025, № 5
若数列 \(\{a_n\}\) 为等差数列，首项 \(a_1=5\)，公差 \(d=2\)，则 \(a_{100}=\)
If the arithmetic sequence \(\{a_n\}\) has first term \(a_1=5\) and common difference \(d=2\), then \(a_{100}=\)
Если арифметическая прогрессия \(\{a_n\}\) имеет первый член \(a_1=5\) и разность \(d=2\), то \(a_{100}=\)
Решение

Формула общего члена арифметической прогрессии: \(a_n = a_1 + (n-1)d\).

Подставляем известные значения: \(a_1=5\), \(d=2\), \(n=100\).

Вычисляем \(a_{100} = 5 + (100-1) \cdot 2\).

Упрощаем выражение: \(a_{100} = 5 + 99 \cdot 2 = 5 + 198 = 203\).

Ответ: A.

Задача 13等差数列Arithmetic sequencesАрифметическая прогрессия2025年12月, № 13December 2025, № 13Декабрь 2025, № 13
已知 a, b 和 c 构成等差数列并且满足 a + c = 20, b =
Given that a, b and c form an arithmetic sequence and satisfy a + c = 20, then b =
Если a, b и c образуют арифметическую прогрессию и удовлетворяют a + c = 20, то b =
Решение

По свойству арифметической прогрессии средний член равен полусумме крайних: \( b = \dfrac{a+c}{2} \).

Подставим известную сумму: \( b = \dfrac{20}{2} = 10 \).

Ответ: A.

Задача 17等差数列Arithmetic sequencesАрифметическая прогрессия2025年12月, № 17December 2025, № 17Декабрь 2025, № 17
已知 \(\{a_n\}\) 是等差数列，且 \(a_1 = 1\)，\(a_2 = 2\)，则 \(a_{2025} =\)
Given that \(\{a_n\}\) is an arithmetic sequence, and \(a_1 = 1\), \(a_2 = 2\), then \(a_{2025} =\)
Дано, что \(\{a_n\}\) — арифметическая прогрессия, причём \(a_1 = 1\), \(a_2 = 2\), тогда \(a_{2025} =\)
Решение

Разность прогрессии \(d=a_2-a_1=2-1=1\).

Общий член: \(a_n=a_1+(n-1)d=1+(n-1)=n\).

Тогда \(a_{2025}=2025\).

Ответ: B.

Задача 47等差数列Arithmetic sequencesАрифметическая прогрессия2025年12月, № 47December 2025, № 47Декабрь 2025, № 47
已知等差数列 \(\{a_n\}\) 满足 \(3(a_2+a_6)+2(a_6+a_{10}+a_{14})=24\)，则 \(S_{13}=\)
Given that the arithmetic sequence \(\{a_n\}\) satisfies \(3(a_2+a_6)+2(a_6+a_{10}+a_{14})=24\), then \(S_{13}=\)
Дано, что арифметическая прогрессия \(\{a_n\}\) удовлетворяет условию \(3(a_2+a_6)+2(a_6+a_{10}+a_{14})=24\). Тогда \(S_{13}=\)
Решение

В арифметической прогрессии \(a_2+a_{14}=a_6+a_{10}=2a_8\), поэтому \(a_2+a_6+a_{10}+a_{14}=4a_8\).

Перегруппируем условие: \(3(a_2+a_6)+2(a_6+a_{10}+a_{14})=3a_2+5a_6+2a_{10}+2a_{14}=24\).

Подставим \(a_n=a_1+(n-1)d\): получаем \(12a_1+78d=24\), то есть \(a_1+\dfrac{13}{2}d=2\), значит \(a_7=2\).

Тогда \(S_{13}=\dfrac{13(a_1+a_{13})}{2}=\dfrac{13\cdot 2a_7}{2}=13\cdot 2=26\).

Ответ: D.

Задача 52等差数列Arithmetic sequencesАрифметическая прогрессия2026年1月, № 4January 2026, № 4Январь 2026, № 4
设 \(\{a_n\}\) 是一个等差数列，首项 \(a_{1}=2\)，公差 \(d=3\)。那么 \(a_{100}=\)
Let \(\{a_n\}\) be an arithmetic sequence, with the first term \(a_{1}=2\) and common difference \(d=3\). Then \(a_{100}=\)
Пусть \(\{a_n\}\) — арифметическая прогрессия с первым членом \(a_{1}=2\) и разностью \(d=3\). Тогда \(a_{100}=\)
Решение

Формула общего члена арифметической прогрессии: \( a_n = a_1 + (n-1)d \).

Подставляем \( n=100 \), \( a_1=2 \), \( d=3 \): \( a_{100} = 2 + 99 \cdot 3 \).

Вычисляем: \( 2 + 297 = 299 \).

Ответ: A.

Задача 61等差数列Arithmetic sequencesАрифметическая прогрессия2026年1月, № 13January 2026, № 13Январь 2026, № 13
已知 \(a = 2 - \sqrt{3}\) 和 \(b = 2 + \sqrt{3}\)，a 和 b 的算术平均数是：
Given that \(a = 2 - \sqrt{3}\) and \(b = 2 + \sqrt{3}\), the arithmetic mean of a and b is:
Если \(a = 2 - \sqrt{3}\) и \(b = 2 + \sqrt{3}\), их арифметическое среднее равно:
Решение

Среднее арифметическое чисел \(a\) и \(b\) равно \(\dfrac{a+b}{2}\).

\(a+b=(2-\sqrt{3})+(2+\sqrt{3})=4\).

\(\dfrac{a+b}{2}=\dfrac{4}{2}=2\).

Ответ: B.

Задача 64等差数列Arithmetic sequencesАрифметическая прогрессия2026年1月, № 16January 2026, № 16Январь 2026, № 16
在以下四个数列中，等差数列的个数是： (1) 7,13,19,25 (2) 2,4,7,11 (3) -1,-3,-5,-7 (4) 2,4,8,16
Among the four sequences below, the number of arithmetic sequences is: (1) 7,13,19,25 (2) 2,4,7,11 (3) -1,-3,-5,-7 (4) 2,4,8,16
Среди четырёх приведённых последовательностей количество арифметических прогрессий равно: (1) 7,13,19,25 (2) 2,4,7,11 (3) -1,-3,-5,-7 (4) 2,4,8,16
Решение

Арифметическая прогрессия: разность соседних членов постоянна.

(1) \(13-7=6,\ 19-13=6,\ 25-19=6\) — арифметическая.

(2) \(4-2=2,\ 7-4=3\) — разности разные, не арифметическая.

(3) \(-3-(-1)=-2,\ -5-(-3)=-2,\ -7-(-5)=-2\) — арифметическая.

(4) \(4-2=2,\ 8-4=4\) — не арифметическая, это геометрическая.

Подходят две последовательности: (1) и (3).

Ответ: A.

Задача 69等差数列Arithmetic sequencesАрифметическая прогрессия2026年1月, № 21January 2026, № 21Январь 2026, № 21
在等差数列 \(\{a_n\}\) 中，若 \(a_2 = 1\) 且 \(a_4 = 5\)，则首项 \(a_1\) 和公差 \(d\) 分别是：
In an arithmetic sequence \(\{a_n\}\), if \(a_2 = 1\) and \(a_4 = 5\), then the first term \(a_1\) and common difference \(d\) are respectively:
В арифметической прогрессии \(\{a_n\}\) известно, что \(a_2 = 1\) и \(a_4 = 5\). Тогда первый член \(a_1\) и разность прогрессии \(d\) соответственно равны:
Решение

Разность арифметической прогрессии находится из соотношения \(a_4 - a_2 = 2d\), откуда \(5 - 1 = 2d\) и \(d = 2\).

Первый член вычисляем по формуле \(a_1 = a_2 - d = 1 - 2 = -1\).

Получаем \(a_1 = -1\) и \(d = 2\).

Ответ: A.

Задача 106等差数列Arithmetic sequencesАрифметическая прогрессия2026年3月, № 10March 2026, № 10Март 2026, № 10
设 \(\{a_n\}\) 是等差数列，首项 \(a_{1}=2\)，公差 \(d=3\)。则 \(a_{100}=\)
Let \(\{a_n\}\) be an arithmetic sequence with first term \(a_{1}=2\) and common difference \(d=3\). Then \(a_{100}=\)
Пусть \(\{a_n\}\) — арифметическая прогрессия с первым членом \(a_{1}=2\) и разностью \(d=3\). Тогда \(a_{100}=\)
Решение

Формула общего члена арифметической прогрессии: \(a_{n}=a_{1}+(n-1)d\).

\(a_{100}=2+99\cdot3=2+297=299\).

Ответ: B.

Задача 116等差数列Arithmetic sequencesАрифметическая прогрессия2026年3月, № 22March 2026, № 22Март 2026, № 22
在等差数列 \(\{a_n\}\) 中，若 \(a_1=1\)，公差 \(d=2\)，则 \(a_{10}=\)
In an arithmetic sequence \(\{a_n\}\), if \(a_1=1\) and its common difference \(d=2\), then \(a_{10}=\)
В арифметической прогрессии \(\{a_n\}\), если \(a_1=1\) и разность \(d=2\), то \(a_{10}=\)
Решение

Формула общего члена арифметической прогрессии: \(a_n=a_1+(n-1)d\).

Подставляем \(a_1=1\), \(d=2\), \(n=10\): \(a_{10}=1+9\cdot 2=19\).

Ответ: A.

Задача 151等差数列Arithmetic sequencesАрифметическая прогрессия2026年4月, № 13April 2026, № 13Апрель 2026, № 13
若 \(-1\)，\(a\)，\(15\) 是等差数列，则 \(a=\)
If \(-1\), \(a\), \(15\) is an arithmetic sequence, then \(a=\)
Если \(-1\), \(a\), \(15\) — арифметическая прогрессия, то \(a=\)
Решение

В арифметической прогрессии средний член равен среднему арифметическому соседних.

Значит \(a=\dfrac{-1+15}{2}=\dfrac{14}{2}=7\).

Ответ: C.

Задача 153等差数列Arithmetic sequencesАрифметическая прогрессия2026年4月, № 15April 2026, № 15Апрель 2026, № 15
若 \(\{a_n\}\) 是等差数列，\(a_{1}=1\)，\(a_{2}=3\)，则 \(a_{5} =\)
If \(\{a_n\}\) is an arithmetic sequence, with \(a_{1}=1\), \(a_{2}=3\), then \(a_{5} =\)
Если \(\{a_n\}\) — арифметическая прогрессия, \(a_{1}=1\), \(a_{2}=3\), то \(a_{5} =\)
Решение

Разность арифметической прогрессии равна \(d = a_2 - a_1 = 3 - 1 = 2\).

Формула общего члена: \(a_n = a_1 + (n-1)d\).

Подставляем \(n = 5\): \(a_5 = 1 + 4 \cdot 2 = 9\).

Ответ: A.

Задача 155等差数列Arithmetic sequencesАрифметическая прогрессия2026年4月, № 17April 2026, № 17Апрель 2026, № 17
若数列 \(\{a_n\}\) 的通项公式为 \(a_n=2n-1\)，则下列说法正确的是：
If the general term of a sequence \(\{a_n\}\) is \(a_n=2n-1\), which of the following statements is correct?
Если общий член последовательности \(\{a_n\}\) равен \(a_n=2n-1\), то какое из следующих утверждений верно?
Решение

Общий член задан формулой \(a_n = 2n - 1\).

Найдём разность соседних членов: \(a_{n+1} - a_n = (2(n+1) - 1) - (2n - 1) = 2\).

Разность постоянна и равна 2, значит последовательность является арифметической прогрессией.

Проверим отношение для геометрической прогрессии: \(a_1 = 1\), \(a_2 = 3\), \(a_3 = 5\), отношения \(\dfrac{3}{1} \neq \dfrac{5}{3}\), поэтому она не геометрическая.

Ответ: C.

Задача 202等差数列Arithmetic sequencesАрифметическая прогрессия2026年6月, № 16June 2026, № 16Июнь 2026, № 16
已知数列 \(\{a_n\}\) 是等差数列，且 \(a_{1}=1\)，公差 \(d=2\)，则 \(a_{9} =\)
Given that the sequence \(\{a_n\}\) is an arithmetic progression with \(a_{1}=1\) and common difference \(d=2\), then \(a_{9} =\)
Если дано, что последовательность \(\{a_n\}\) является арифметической прогрессией с \(a_{1}=1\) и разностью \(d=2\), то \(a_{9} =\)
Решение

Формула общего члена арифметической прогрессии: \(a_n = a_1 + (n-1)d\).

Подставляем \(a_1 = 1\), \(d = 2\), \(n = 9\).

\(a_9 = 1 + (9-1) \cdot 2 = 1 + 8 \cdot 2 = 1 + 16 = 17\).

Ответ: D.

Задача 210等差数列Arithmetic sequencesАрифметическая прогрессия2026年6月, № 24June 2026, № 24Июнь 2026, № 24
若数列 \(\{a_n\}\) 是等差数列，且 \(a_1 = 1\)，\(a_2 = 3\)，则 \(a_5 =\)？
If the sequence \(\{a_n\}\) is an arithmetic sequence, and \(a_1 = 1\), \(a_2 = 3\), then \(a_5 =\)?
Если последовательность \(\{a_n\}\) является арифметической прогрессией, причём \(a_1 = 1\), \(a_2 = 3\), то \(a_5 =\)?
Решение

Разность прогрессии \(d = a_2 - a_1 = 3 - 1 = 2\).

Общий член: \(a_n = a_1 + (n-1)d\).

\(a_5 = 1 + 4\cdot 2 = 9\).

Ответ: C.

Задача 233等差数列Arithmetic sequencesАрифметическая прогрессия2026年6月, № 47June 2026, № 47Июнь 2026, № 47
已知 \(\{a_n\}\) 满足 \(a_1 = \dfrac{1}{2}\)， \(a_{n+1} = \dfrac{a_n}{1+2a_n}\)，令 \(b_n = \dfrac{1}{a_n}\)，则 \(S_n = b_1 + b_2 + \cdots + b_n\) =
Given that \(\{a_n\}\) satisfies \(a_1 = \dfrac{1}{2}\), \(a_{n+1} = \dfrac{a_n}{1+2a_n}\), let \(b_n = \dfrac{1}{a_n}\), then \(S_n = b_1 + b_2 + \cdots + b_n\) =
Дано, что \(\{a_n\}\) удовлетворяет условиям \(a_1 = \dfrac{1}{2}\), \(a_{n+1} = \dfrac{a_n}{1+2a_n}\). Пусть \(b_n = \dfrac{1}{a_n}\), тогда \(S_n = b_1 + b_2 + \cdots + b_n\) =
Решение

\( b_{n+1} = \dfrac{1}{a_{n+1}} = \dfrac{1 + 2a_n}{a_n} = \dfrac{1}{a_n} + 2 = b_n + 2 \).

Значит \( \{b_n\} \) — арифметическая прогрессия с разностью \( 2 \).

\( b_1 = \dfrac{1}{a_1} = 2 \), поэтому \( b_n = 2 + 2(n-1) = 2n \).

\( S_n = 2 + 4 + \cdots + 2n = 2\cdot\dfrac{n(n+1)}{2} = n(n+1) \).

Ответ: A.

Задача 250等差数列Arithmetic sequencesАрифметическая прогрессия模拟卷 CSCA Math Exam, № 16Mock: CSCA Math Exam, № 16Пробник CSCA Math Exam, № 16
若数列 \(\{a_n\}\) 是等差数列，\(a_1=1\)，\(a_2=3\)，则 \(a_5=\)
If \(\{a_n\}\) is an arithmetic sequence with \(a_1=1\) and \(a_2=3\), then \(a_5=\)
Если \(\{a_n\}\) — арифметическая прогрессия, \(a_1=1\), \(a_2=3\), то \(a_5=\)
Решение

Разность арифметической прогрессии \( d = a_2 - a_1 = 3 - 1 = 2 \).

Формула общего члена \( a_n = a_1 + (n-1)d \).

Подставляем \( a_5 = 1 + 4 \cdot 2 = 9 \).

Ответ: A.

Задача 291等差数列Arithmetic sequencesАрифметическая прогрессия模拟卷 Crossline, № 9Mock: Crossline, № 9Пробник Crossline, № 9
下列数列中，<strong>不属于</strong>等差数列的是：
Which of the following sequences is <strong>not</strong> an arithmetic sequence?
Какая из следующих последовательностей <strong>не является</strong> арифметической прогрессией?
Решение

Арифметическая прогрессия имеет постоянную разность между соседними членами.

В варианте A все члены равны нулю, разность \(d = 0\), это арифметическая прогрессия.

В варианте B разность \(d = 1\), общий член \(n - 3\), это арифметическая прогрессия.

В варианте C разность \(d = 2\), общий член \(2n - 1\), это арифметическая прогрессия.

В варианте D члены: \(0, 1, 3, 6, \ldots\), разности равны \(1, 2, 3, \ldots\) и не постоянны.

Ответ: D.