已知有 \(n\) 个编号互不相同的白球和 \(n\) 个编号互不相同的红球。现从中随机取出 \(n\) 个球，设取出球的颜色交替出现（白、红、白、……；或红、白、红、……）的概率为 \(P(n)\)，则下列关系正确的是：
There are \(n\) white balls with distinct labels and \(n\) red balls with distinct labels. From these, \(n\) balls are randomly selected. Let \(P(n)\) be the probability that the colors of the selected balls alternate (white, red, white, …; or red, white, red, …). Which of the following relations is correct?
Имеется \(n\) белых шаров с различными номерами и \(n\) красных шаров с различными номерами. Из них случайным образом выбирают \(n\) шаров. Пусть \(P(n)\) — вероятность того, что цвета выбранных шаров чередуются (белый, красный, белый, …; или красный, белый, красный, …). Какое из следующих соотношений верно?
Решение
Шары вынимают по одному, порядок важен: всего последовательностей \(2n(2n-1)\cdots(n+1)\).
При чётном \(n=2k\) чередующихся последовательностей \(2\cdot\left(n(n-1)\cdots(n-k+1)\right)^2\): выбираем, с какого цвета начать, и по порядку ставим \(k\) белых и \(k\) красных.
\(P(2)=\dfrac{2\cdot 2^2}{4\cdot 3}=\dfrac{2}{3}\), \(P(4)=\dfrac{2\cdot(4\cdot 3)^2}{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5}=\dfrac{6}{35}\), \(P(6)=\dfrac{2\cdot(6\cdot 5\cdot 4)^2}{12\cdot 11\cdot 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7}=\dfrac{10}{231}\).
\(\dfrac{2}{3}>\dfrac{6}{35}>\dfrac{10}{231}\), то есть \(P(2)>P(4)>P(6)\).
Ответ: A.