Всего знаков зодиака 12, вероятности одинаковы.
Вероятность того, что все три знака различны: \(P=1\cdot \dfrac{11}{12}\cdot \dfrac{10}{12}=\dfrac{55}{72}\).
Искомая вероятность противоположного события: \(1-\dfrac{55}{72}=\dfrac{17}{72}\).
Ответ: A.
Вероятности выбора каждого приложения школьником: A — \(\dfrac{80}{200} = \dfrac{2}{5}\), B — \(\dfrac{40}{200} = \dfrac{1}{5}\), C — \(\dfrac{60}{200} = \dfrac{3}{10}\), D — \(\dfrac{20}{200} = \dfrac{1}{10}\).
Вероятности выбора студентом: A — \(\dfrac{30}{80} = \dfrac{3}{8}\), B — \(\dfrac{20}{80} = \dfrac{1}{4}\), C — \(\dfrac{20}{80} = \dfrac{1}{4}\), D — \(\dfrac{10}{80} = \dfrac{1}{8}\).
Вероятность совпадения приложений: \(P = \dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{3}{8} + \dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{10} \cdot \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{10} \cdot \dfrac{1}{8}\).
Вычислим: \(P = \dfrac{6}{40} + \dfrac{1}{20} + \dfrac{3}{40} + \dfrac{1}{80} = \dfrac{12}{80} + \dfrac{4}{80} + \dfrac{6}{80} + \dfrac{1}{80} = \dfrac{23}{80}\).
Вероятность того, что приложения разные: \(1 - \dfrac{23}{80} = \dfrac{57}{80}\).
Ответ: B.
Всего способов вынуть 2 шара из 5: \( C_5^2=10 \).
Одинаковый цвет: пара красных или пара чёрных, всего 2 пары, значит разные цвета: \( 10-2=8 \) пар, \( P=\dfrac{8}{10}=\dfrac{4}{5} \).
Нет номера 1: только пара из красного 2 и чёрного 2, одна пара, значит хотя бы одна единица: \( 10-1=9 \) пар, \( P=\dfrac{9}{10} \).
Ответ: B.
Вероятность вытащить красный шар равна \(\dfrac{1}{3}\), значит красных шаров \(12 \cdot \dfrac{1}{3} = 4\).
Остальных шаров (черных, желтых, зеленых) вместе \(12 - 4 = 8\), их суммарная вероятность \(\dfrac{2}{3}\).
По условию \(P(Y) + P(G) = \dfrac{5}{12}\) и \(P(B) + P(Y) = \dfrac{5}{12}\), откуда \(P(G) = P(B)\).
Так как \(P(B) + P(Y) + P(G) = \dfrac{2}{3}\), подставляем \(P(B) = P(G)\) и получаем \(2P(B) + P(Y) = \dfrac{2}{3}\).
Из \(P(B) + P(Y) = \dfrac{5}{12}\) вычитаем: \(P(B) = \dfrac{2}{3} - \dfrac{5}{12} = \dfrac{1}{4}\).
Тогда \(P(Y) = \dfrac{5}{12} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{6}\) и \(P(G) = \dfrac{1}{4}\).
Ответ: A.
Шары вынимают по одному, порядок важен: всего последовательностей \(2n(2n-1)\cdots(n+1)\).
При чётном \(n=2k\) чередующихся последовательностей \(2\cdot\left(n(n-1)\cdots(n-k+1)\right)^2\): выбираем, с какого цвета начать, и по порядку ставим \(k\) белых и \(k\) красных.
\(P(2)=\dfrac{2\cdot 2^2}{4\cdot 3}=\dfrac{2}{3}\), \(P(4)=\dfrac{2\cdot(4\cdot 3)^2}{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5}=\dfrac{6}{35}\), \(P(6)=\dfrac{2\cdot(6\cdot 5\cdot 4)^2}{12\cdot 11\cdot 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7}=\dfrac{10}{231}\).
\(\dfrac{2}{3}>\dfrac{6}{35}>\dfrac{10}{231}\), то есть \(P(2)>P(4)>P(6)\).
Ответ: A.
Пусть \(a,b,c\) — числа на шарах по порядку: \(m=\dfrac{a+b}{2}\), \(n=\dfrac{a+b+c}{3}\), \(m-n=\dfrac{a+b-2c}{6}\).
Условие \(|m-n|\le\dfrac{1}{2}\) равносильно \(|a+b-2c|\le 3\).
Всего упорядоченных троек \(6\cdot 5\cdot 4=120\).
Пар \(\{a,b\}\) для каждого \(c\): при \(c=1\) одна, \(c=2\) пять, \(c=3\) восемь, \(c=4\) восемь, \(c=5\) пять, \(c=6\) одна; всего 28 пар, то есть 56 упорядоченных троек.
\(P=\dfrac{56}{120}=\dfrac{7}{15}\).
Ответ: D.
Всего пять учеников, из них выбирают двух.
Событие M означает, что ученик A уже выбран.
Второго участника нужно выбрать из оставшихся четырёх учеников: B, C, D, E.
Каждый из этих четырёх учеников образует отдельный элементарный исход события M.
Количество элементарных исходов равно 4.
Ответ: B.
Прибыль за единицу до 19-й включительно равна \(8 - 3 = 5\) юаней, с 20-й единицы цена продажи \(4\), прибыль \(4 - 3 = 1\) юань.
Для 18 единиц: \(18 \cdot 5 = 90 < 96\), не подходит (1 день).
Для 19 единиц: \(19 \cdot 5 = 95 < 96\), не подходит (4 дня).
Для 20 единиц: \(19 \cdot 5 + 1 \cdot 1 = 96\) (3 дня), для 21 единицы: \(19 \cdot 5 + 2 \cdot 1 = 97\) (2 дня).
Дней с прибылью не менее 96 всего \(3 + 2 = 5\), из них ровно 97 дают 2 дня.
Вероятность выбрать оба таких дня: \(\dfrac{C_2^2}{C_5^2} = \dfrac{1}{10}\).
Ответ: B.
Ошибка в источнике: варианты B и D одинаковые, оба верны.
Всего трёхзначных чисел из различных цифр: \(5\cdot4\cdot3=60\).
Число делится на \(3\), если сумма цифр делится на \(3\); подходят наборы \(\{1,2,3\},\{1,3,5\},\{2,3,4\},\{3,4,5\}\) — всего \(4\) набора.
Каждый набор даёт \(3!=6\) чисел, благоприятных \(4\cdot6=24\).
Вероятность \(P=\dfrac{24}{60}=\dfrac25\).
Ответ: D.