已知\(\cos\alpha=-\dfrac{4}{5}\)，且\(\alpha\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)\)，则\(\sin\left(\alpha+\dfrac{\pi}{4}\right)=\)
Given \(\cos\alpha=-\dfrac{4}{5}\), and \(\alpha\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)\), then \(\sin\left(\alpha+\dfrac{\pi}{4}\right)=\)
Дано \(\cos\alpha=-\dfrac{4}{5}\), причём \(\alpha\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)\), тогда \(\sin\left(\alpha+\dfrac{\pi}{4}\right)=\)
Решение
Угол \(\alpha\) лежит во второй четверти, поэтому \(\sin\alpha > 0\).
Находим \(\sin\alpha = \sqrt{1-\cos^2\alpha} = \sqrt{1-\dfrac{16}{25}} = \dfrac{3}{5}\).
Применяем формулу синуса суммы: \(\sin\left(\alpha+\dfrac{\pi}{4}\right) = \sin\alpha\cos\dfrac{\pi}{4}+\cos\alpha\sin\dfrac{\pi}{4}\).
Подставляем значения: \(\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\left(-\dfrac{4}{5}\right)\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{3\sqrt{2}-4\sqrt{2}}{10} = -\dfrac{\sqrt{2}}{10}\).
Ответ: C.