\(\mathbb{N}\) — множество натуральных чисел, \(-2\) не натуральное, A неверно.
\(\mathbb{Q}\) — множество рациональных чисел, \(\pi\) иррационально, B неверно.
\(\mathbb{Z}\) — множество целых чисел, \(\dfrac{3}{2}\) не целое, C неверно.
\(\sqrt{3}\) — действительное число, поэтому \(\sqrt{3} \in \mathbb{R}\), D верно.
Ответ: D.
Объединение содержит все элементы обоих множеств без повторов: \(A \cup B = \{1,2,3,4,5,6\}\).
Пересечение содержит только общие элементы: \(A \cap B = \{3,4\}\).
Варианты A, B, C противоречат этим результатам, верен только D.
Ответ: D.
Умножим неравенство на \(-1\): \(x^2 - x - 6 > 0\).
Разложим на множители: \(x^2 - x - 6 = (x-3)(x+2)\).
Корни \(x=-2\) и \(x=3\), ветви параболы вверх, поэтому выражение положительно вне корней.
Решение: \(x \in (-\infty,-2)\cup(3,+\infty)\).
Ответ: B.
Логарифм \(\ln x\) определён при \(x>0\).
Корень \(\sqrt{1-x}\) определён при \(1-x \geq 0\), то есть \(x \leq 1\).
Пересечение условий: \(0 < x \leq 1\).
Ответ: A.
Точка лежит на оси \(x\), значит её ордината равна нулю: \(a + 1 = 0\).
Отсюда \(a = -1\).
Подставляем в абсциссу: \(a + 3 = -1 + 3 = 2\).
Координаты точки \(M\) равны \((2, 0)\).
Ответ: C.
Угол \( \dfrac{5\pi}{6} \) лежит во второй четверти, там синус положителен.
По формуле приведения \( \sin\dfrac{5\pi}{6} = \sin\left(\pi - \dfrac{\pi}{6}\right) = \sin\dfrac{\pi}{6} \).
Табличное значение \( \sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2} \).
Ответ: A.
Чётная функция удовлетворяет \(f(-x)=f(x)\) при симметричной области определения.
В варианте A \(f(-x)=2x^2+\cos(-x)=2x^2+\cos x=f(x)\), функция чётная.
В B слагаемое \(x\) меняет знак, в D слагаемое \(-\sin x\) меняет знак, функции не чётные.
В C область определения \(x\geq 0\) не симметрична относительно нуля.
Ответ: A.
Во второй четверти абсцисса отрицательна, ордината положительна, значит \(a<0\), \(b>0\).
У точки \((b,a)\) абсцисса \(b>0\), ордината \(a<0\).
Положительная абсцисса и отрицательная ордината соответствуют четвёртой четверти.
Ответ: D.
Выражаем \(x\) через \(y\): \(x^3=1-y\), откуда \(x=\sqrt[3]{1-y}\).
Меняем местами переменные: \(y=\sqrt[3]{1-x}\).
Кубический корень определён при всех \(x\), ограничений нет.
Ответ: A.
Функции \(y=3x\), \(y=x^2\) и \(y=x^3\) возрастают на \((0,+\infty)\).
Для \(y=\dfrac{1}{x}\): если \(0<x_1<x_2\), то \(\dfrac{1}{x_1}>\dfrac{1}{x_2}\).
Значит, функция убывает на \((0,+\infty)\).
Ответ: D.
Нули числителя и знаменателя: \(2x-4=0\) при \(x=2\), \(x-1=0\) при \(x=1\).
Методом интервалов дробь неположительна на \((1,2]\).
Точка \(x=1\) исключена, так как знаменатель обращается в нуль.
Точка \(x=2\) входит, так как неравенство нестрогое.
Ответ: A.
Среднее геометрическое чисел \(a\) и \(b\) равно \(\pm\sqrt{ab}\).
Вычислим произведение: \(ab = (\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1) = 2 - 1 = 1\).
Тогда \(\pm\sqrt{ab} = \pm\sqrt{1} = \pm 1\).
Ответ: A.
Формула общего члена геометрической прогрессии \( a_n = a_1 q^{n-1} \).
Подставляем \( a_4 = 3 \cdot 2^{3} = 3 \cdot 8 = 24 \).
Ответ: C.
Угловой коэффициент прямой через две точки \( k = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \).
Подставляем координаты \( k = \dfrac{3 - 1}{2 - (-1)} = \dfrac{2}{3} \).
Ответ: C.
Для точки \( M(x, y) \) на терминальной стороне угла \( \tan\alpha = \dfrac{y}{x} \).
Подставляем координаты точки \( M(2, 4) \): \( \tan\alpha = \dfrac{4}{2} = 2 \).
Ответ: A.
Разность арифметической прогрессии \( d = a_2 - a_1 = 3 - 1 = 2 \).
Формула общего члена \( a_n = a_1 + (n-1)d \).
Подставляем \( a_5 = 1 + 4 \cdot 2 = 9 \).
Ответ: A.
Расстояние между точками вычисляется по формуле \(|AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\).
Подставляем координаты: \(|AB| = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (-1 - 2)^2}\).
Вычисляем разности: \(3 - (-1) = 4\), \(-1 - 2 = -3\).
Возводим в квадрат и складываем: \(4^2 + (-3)^2 = 16 + 9 = 25\).
Извлекаем корень: \(|AB| = \sqrt{25} = 5\).
Ответ: C.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом \(k\), проходящей через точку \((x_0, y_0)\), имеет вид \(y - y_0 = k(x - x_0)\).
Подставляем \(x_0 = -2\), \(y_0 = 3\), \(k = 2\): \(y - 3 = 2(x + 2)\).
Раскрываем скобки: \(y - 3 = 2x + 4\).
Выражаем \(y\): \(y = 2x + 7\).
Варианты A и D имеют неверный угловой коэффициент, вариант B не проходит через заданную точку.
Ответ: C.
Центр окружности находится в точке \((2, 0)\), поэтому уравнение имеет вид \((x-2)^2 + y^2 = R^2\).
Радиус равен расстоянию от центра до точки \(A(2, 2)\): \(R = \sqrt{(2-2)^2 + (2-0)^2} = 2\).
Квадрат радиуса \(R^2 = 4\).
Уравнение окружности: \((x-2)^2 + y^2 = 4\).
Ответ: D.
Разделим числитель и знаменатель дроби на \(\cos\alpha\).
Получим выражение \(\dfrac{3\tan\alpha + 2}{4\tan\alpha - 3}\).
Подставим \(\tan\alpha = 2\): \(\dfrac{3 \cdot 2 + 2}{4 \cdot 2 - 3} = \dfrac{6 + 2}{8 - 3}\).
Вычисляем значение дроби: \(\dfrac{8}{5}\).
Ответ: A.
Дана геометрическая прогрессия с первым членом \(a_1 = \dfrac{1}{2}\).
Знаменатель прогрессии \(q = \dfrac{-1/4}{1/2} = -\dfrac{1}{2}\).
Формула общего члена: \(a_n = a_1 \cdot q^{n-1} = \dfrac{1}{2} \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}\).
Перепишем это как \((-1)^{n-1} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2^{n-1}} = (-1)^{n-1} \cdot \dfrac{1}{2^n}\).
При \(n=1\) получаем \(\dfrac{1}{2}\), при \(n=2\) получаем \(-\dfrac{1}{4}\), что совпадает с условием.
Ответ: C.
Проверим вариант B: из условия \(a > c\) прибавляем к обеим частям \(b\), получаем \(a + b > b + c\), что верно всегда.
Вариант A неверен, так как при отрицательном \(c\) знак неравенства меняется на противоположный.
Вариант C эквивалентен \(a + c > 2b\), что не гарантировано условием \(a > b > c\).
Вариант D неверен, так как при отрицательном \(b\) умножение на него меняет знак неравенства.
Ответ: B.
Функции \(y=x^3\) и \(y=x^{1/3}\) являются взаимно обратными.
Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой \(y=x\).
Ответ: B.
Используем формулу двойного угла: \(\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1\).
Подставляем значение косинуса: \(\cos 2\alpha = 2 \cdot \left(\dfrac{1}{3}\right)^2 - 1\).
Вычисляем: \(\cos 2\alpha = 2 \cdot \dfrac{1}{9} - 1 = \dfrac{2}{9} - \dfrac{9}{9} = -\dfrac{7}{9}\).
Ответ: D.
Из второго уравнения выражаем \(y = x + 3\).
Подставляем в первое уравнение: \(3x + 2(x + 3) + 4 = 0\).
Раскрываем скобки: \(3x + 2x + 6 + 4 = 0\), откуда \(5x = -10\) и \(x = -2\).
Находим \(y = -2 + 3 = 1\), точка пересечения \((-2, 1)\).
Ответ: C.
Каноническое уравнение гиперболы имеет вид \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\), где \(a^2 = 7\) и \(b^2 = 9\).
Фокусы лежат на оси абсцисс, так как положительный член содержит \(x\).
Вычисляем \(c^2 = a^2 + b^2 = 7 + 9 = 16\), откуда \(c = 4\).
Координаты фокусов: \((\pm 4, 0)\).
Ответ: D.
Степенная функция \(y = x^3\) возрастает при \(x > 0\).
Так как \(2.1 > 1.2\), то \(2.1^3 > 1.2^3\), вариант A верен.
В варианте B функция \(y = x^{-2}\) убывает при \(x > 0\), поэтому \(2.1^{-2} < 1.2^{-2}\).
В варианте C показательная функция с основанием \(0.75 < 1\) убывает, а \(-0.2 > -0.4\), значит \(0.75^{-0.2} < 0.75^{-0.4}\).
В варианте D основание \(3 > 1\), функция возрастает, но \(2.25 < 3\), поэтому \(3^{2.25} < 3^3\).
Ответ: A.
По формуле смены основания \(\log_4 27=\dfrac{\log_2 27}{\log_2 4}\).
\(\log_2 27=\log_2 3^3=3\log_2 3\), а \(\log_2 4=2\).
Тогда \(\dfrac{\log_4 27}{\log_2 3}=\dfrac{3\log_2 3}{2\log_2 3}=\dfrac{3}{2}\).
Ответ: A.
\(y=\cos x\) периодична с периодом \(2\pi\), поэтому A верно.
Она не монотонна на всей числовой прямой: убывает на \([2k\pi,\pi+2k\pi]\) и возрастает на \([\pi+2k\pi,2\pi+2k\pi]\), значит B и C неверны.
\(\cos(-x)=\cos x\), функция чётная, а не нечётная, D неверно.
Ответ: A.
Вершина в начале координат и фокус \(\left(\dfrac{3}{2},0\right)\) на оси \(x\), значит ветви вправо и уравнение имеет вид \(y^2=2px\).
Фокус такой параболы: \(\left(\dfrac{p}{2},0\right)\), поэтому \(\dfrac{p}{2}=\dfrac{3}{2}\), то есть \(p=3\).
Подставляем: \(y^2=2\cdot 3\,x=6x\).
Ответ: C.
По формуле расстояния \(PQ=\sqrt{(3-1)^2+(-1-3)^2}\).
Считаем разности: \(3-1=2\), \(-1-3=-4\).
\(PQ=\sqrt{2^2+(-4)^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\).
Ответ: B.
Прямые \(a_1x+b_1y+c_1=0\) и \(a_2x+b_2y+c_2=0\) параллельны, когда \(a_1b_2=a_2b_1\).
Здесь \(a(a+1)=1\cdot 2\), то есть \(a^2+a-2=0\).
Корни: \(a=1\) или \(a=-2\).
Проверка на совпадение: при \(a=1\) прямые \(x+2y-1=0\) и \(x+2y+4=0\) различны, при \(a=-2\) прямые \(-2x+2y-1=0\) и \(x-y+4=0\) также различны, оба значения подходят.
Ответ: B.
Каноническое уравнение окружности с центром \((a,b)\) и радиусом \(r\) имеет вид \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\).
Подставляем центр \((-3,2)\) и радиус \(4\): \((x-(-3))^2+(y-2)^2=4^2\).
Получаем \((x+3)^2+(y-2)^2=16\).
Варианты A и B имеют неверные знаки при координатах центра.
Вариант C содержит \(4\) вместо \(16\) в правой части.
Ответ: D.
Угол \(\alpha\) лежит во второй четверти, поэтому \(\sin\alpha > 0\).
Находим \(\sin\alpha = \sqrt{1-\cos^2\alpha} = \sqrt{1-\dfrac{16}{25}} = \dfrac{3}{5}\).
Применяем формулу синуса суммы: \(\sin\left(\alpha+\dfrac{\pi}{4}\right) = \sin\alpha\cos\dfrac{\pi}{4}+\cos\alpha\sin\dfrac{\pi}{4}\).
Подставляем значения: \(\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\left(-\dfrac{4}{5}\right)\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{3\sqrt{2}-4\sqrt{2}}{10} = -\dfrac{\sqrt{2}}{10}\).
Ответ: C.
Две функции тождественно равны, если совпадают их области определения и правила вычисления значений.
В варианте A область определения первой функции все \(x\neq 0\), а второй только \(x>0\).
В варианте B обе функции определены на всей числовой прямой, и по свойству модуля \(|x-1|=\sqrt{(x-1)^2}\) для любого \(x\).
В варианте C вторая функция не определена при \(x=\pm 1\), а первая определена везде.
В варианте D области определения различаются: первая требует \(x(x-1)>0\), вторая \(x>0\) и \(x-1>0\).
Ответ: B.
По формуле двойного угла \(\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha\) и \(\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1\).
Подставляем в дробь: \(\dfrac{2 \cdot 2\sin\alpha\cos\alpha}{1 + 2\cos^2\alpha - 1} = \dfrac{4\sin\alpha\cos\alpha}{2\cos^2\alpha} = \dfrac{2\sin\alpha}{\cos\alpha} = 2\tan\alpha\).
Выражение принимает вид \(2\tan\alpha - \tan\alpha = \tan\alpha\).
Так как \(\alpha\) в первой четверти и \(\sin\alpha = \dfrac{3}{5}\), то \(\cos\alpha = \sqrt{1 - \dfrac{9}{25}} = \dfrac{4}{5}\).
Находим \(\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \dfrac{3/5}{4/5} = \dfrac{3}{4}\).
Ответ: C.
Функция синус имеет период \(2\pi\), поэтому \(\sin(\alpha+4\pi)=\sin\alpha\), вариант A неверен.
Прибавление \(3\pi\) равносильно прибавлению \(\pi\) с точностью до периода, значит \(\sin(\alpha+3\pi)=-\sin\alpha\), вариант B неверен.
По формуле приведения \(\cos\left(\alpha+\dfrac{3\pi}{2}\right)=\sin\alpha\), вариант C верен.
По формуле приведения \(\cos\left(\alpha+\dfrac{\pi}{2}\right)=-\sin\alpha\), вариант D неверен.
Ответ: C.
Область значений функции \(y=\tan x\) есть все действительные числа \(\mathbb{R}\), утверждение A верно.
Функция нечётная, так как \(\tan(-x)=-\tan x\), утверждение B верно.
Наименьший положительный период равен \(\pi\), утверждение C верно.
Область определения состоит из всех \(x\), для которых \(\cos x \neq 0\), то есть \(x \neq \dfrac{\pi}{2}+k\pi\), \(k \in \mathbb{Z}\).
В варианте D указана область определения для котангенса, а не для тангенса, поэтому это утверждение неверно.
Ответ: D.
Из условия \(\cos\alpha = -\dfrac{1}{2}\) и \(\alpha \in \left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right)\) находим \(\alpha = \dfrac{2\pi}{3}\).
Тогда \(\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{\pi}{3}\).
Вычисляем \(\sin\dfrac{\alpha}{2} = \sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\).
Ответ: D.
Последовательно вычисляем члены последовательности по рекуррентной формуле \(a_{n+2}=a_{n+1}+a_n\).
\(a_3=a_2+a_1=3+1=4\).
\(a_4=a_3+a_2=4+3=7\).
\(a_5=a_4+a_3=7+4=11\).
Ответ: C.
Директриса параболы с вершиной в начале координат имеет вид \(x=-\dfrac{p}{2}\) для уравнения \(y^2=2px\).
По условию директриса \(x=\dfrac{1}{4}\), следовательно \(-\dfrac{p}{2}=\dfrac{1}{4}\), откуда \(p=-\dfrac{1}{2}\).
Подставляем в каноническое уравнение: \(y^2=2\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)x=-x\).
Ответ: B.
Так как \(3 > e\), то \(a = \ln 3 > \ln e = 1\).
Основание логарифма в \(b = \log_{0.3} 2\) меньше единицы, а аргумент больше единицы, поэтому \(b < 0\).
Для \(c = \log_3 2\) основание больше единицы и \(1 < 2 < 3\), значит \(0 < c < 1\).
Собираем вместе: \(b < 0 < c < 1 < a\), то есть \(b < c < a\).
Ответ: D.
Эллипс проходит через \(P(-2,0)\), значит вершина на оси \(x\) равна \(2\), то есть \(a=2\) или \(b=2\).
Большая ось вдвое больше малой, поэтому полуоси равны \(2\) и \(4\).
Если большая ось по \(x\): \(\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{4}=1\), но точка \((-2,0)\) не лежит на нём как вершина большой оси, проверка: \(\dfrac{4}{16}+0=\dfrac{1}{4}\neq 1\), не подходит.
Значит полуось по \(x\) равна \(2\): \(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\), где \(b=1\) или \(b=4\).
Получаем \(\dfrac{x^2}{4}+y^2=1\) или \(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{16}=1\).
Ответ: C.
\(3\vec{a}=3(-1,2)=(-3,6)\).
\(3\vec{a}-\vec{b}=(-3,6)-(3,-1)=(-3-3,\,6-(-1))=(-6,7)\).
Ответ: D.
Находим пересечение \(l_2\) и \(l_3\): вычитаем \(x+y+1=0\) из \(2x+y-1=0\), получаем \(x-2=0\), \(x=2\), тогда \(y=-3\).
Прямая \(l_1: x+2y+4=0\) имеет угловой коэффициент \(-\dfrac{1}{2}\), перпендикулярная ей прямая имеет коэффициент \(2\).
Уравнение \(l\): \(y+3=2(x-2)\), то есть \(2x-y-7=0\).
Ответ: A.
По неравенству треугольника \( |2z+1| \le |2z| + |1| = 2|z| + 1 \).
Подставляем \( |z|=1 \): \( |2z+1| \le 2 \cdot 1 + 1 = 3 \).
Равенство достигается, когда \( 2z \) и \( 1 \) имеют одинаковый аргумент, то есть при \( z=1 \).
Проверка: \( |2(1)+1| = |3| = 3 \).
Ответ: D.
Для геометрической прогрессии \( S_4 = S_2 + q^2 S_2 = S_2(1+q^2) \).
Подставляем значения: \( 20 = 4(1+q^2) \), откуда \( q^2 = 4 \).
Аналогично \( S_8 = S_4 + q^4 S_4 = S_4(1+q^4) \).
Так как \( q^4 = (q^2)^2 = 16 \), получаем \( S_8 = 20(1+16) = 20 \cdot 17 = 340 \).
Ответ: B.
Пусть \(a,b,c\) — числа на шарах по порядку: \(m=\dfrac{a+b}{2}\), \(n=\dfrac{a+b+c}{3}\), \(m-n=\dfrac{a+b-2c}{6}\).
Условие \(|m-n|\le\dfrac{1}{2}\) равносильно \(|a+b-2c|\le 3\).
Всего упорядоченных троек \(6\cdot 5\cdot 4=120\).
Пар \(\{a,b\}\) для каждого \(c\): при \(c=1\) одна, \(c=2\) пять, \(c=3\) восемь, \(c=4\) восемь, \(c=5\) пять, \(c=6\) одна; всего 28 пар, то есть 56 упорядоченных троек.
\(P=\dfrac{56}{120}=\dfrac{7}{15}\).
Ответ: D.