已知\(\sin\alpha=\dfrac{3}{5}\)，且\(\alpha\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)\)，则\(\dfrac{2\sin 2\alpha}{1+\cos 2\alpha}-\tan\alpha=\)
Given \(\sin\alpha=\dfrac{3}{5}\), and \(\alpha\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)\), then \(\dfrac{2\sin 2\alpha}{1+\cos 2\alpha}-\tan\alpha=\)
Дано \(\sin\alpha=\dfrac{3}{5}\), причём \(\alpha\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)\), тогда \(\dfrac{2\sin 2\alpha}{1+\cos 2\alpha}-\tan\alpha=\)
Решение
По формуле двойного угла \(\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha\) и \(\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1\).
Подставляем в дробь: \(\dfrac{2 \cdot 2\sin\alpha\cos\alpha}{1 + 2\cos^2\alpha - 1} = \dfrac{4\sin\alpha\cos\alpha}{2\cos^2\alpha} = \dfrac{2\sin\alpha}{\cos\alpha} = 2\tan\alpha\).
Выражение принимает вид \(2\tan\alpha - \tan\alpha = \tan\alpha\).
Так как \(\alpha\) в первой четверти и \(\sin\alpha = \dfrac{3}{5}\), то \(\cos\alpha = \sqrt{1 - \dfrac{9}{25}} = \dfrac{4}{5}\).
Находим \(\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \dfrac{3/5}{4/5} = \dfrac{3}{4}\).
Ответ: C.