有6个相同的球，分别标有号码1，2，3，4，5，6。不放回地逐个随机取出3个球。设 \(m\) 为前两次取出球的号码的平均值，\(n\) 为三次取出球的号码的平均值，则 \(|m-n|\) 不超过 \(\dfrac{1}{2}\) 的概率为：
There are 6 identical balls labeled with the numbers 1, 2, 3, 4, 5, 6. Three balls are drawn at random one at a time without replacement. Let \(m\) be the average of the numbers on the first two balls drawn, and \(n\) be the average of the numbers on all three balls drawn. Then the probability that \(|m-n|\) does not exceed \(\dfrac{1}{2}\) is:
Имеется 6 одинаковых шаров, пронумерованных числами 1, 2, 3, 4, 5, 6. Случайным образом по одному без возвращения вынимают 3 шара. Пусть \(m\) — среднее арифметическое номеров первых двух вынутых шаров, а \(n\) — среднее арифметическое номеров всех трёх вынутых шаров. Тогда вероятность того, что \(|m-n|\) не превосходит \(\dfrac{1}{2}\), равна:
Решение
Пусть \(a,b,c\) — числа на шарах по порядку: \(m=\dfrac{a+b}{2}\), \(n=\dfrac{a+b+c}{3}\), \(m-n=\dfrac{a+b-2c}{6}\).
Условие \(|m-n|\le\dfrac{1}{2}\) равносильно \(|a+b-2c|\le 3\).
Всего упорядоченных троек \(6\cdot 5\cdot 4=120\).
Пар \(\{a,b\}\) для каждого \(c\): при \(c=1\) одна, \(c=2\) пять, \(c=3\) восемь, \(c=4\) восемь, \(c=5\) пять, \(c=6\) одна; всего 28 пар, то есть 56 упорядоченных троек.
\(P=\dfrac{56}{120}=\dfrac{7}{15}\).
Ответ: D.