已知数列 \(\{a_n\}\) 的通项公式为 \(a_n = \left(\frac{1}{2}\right)^n\)，其前 \(n\) 项和为 \(S_n\)，关于数列 \(\{a_n\}\) 和 \(\{S_n\}\) 极限的说法正确的是：
Given the sequence \(\{a_n\}\) with general term \(a_n = \left(\frac{1}{2}\right)^n\) and sum of first \(n\) terms \(S_n\), which of the following statements about the limits of \(\{a_n\}\) and \(\{S_n\}\) is correct?
Дана последовательность \(\{a_n\}\) с общим членом \(a_n = \left(\frac{1}{2}\right)^n\), сумма первых \(n\) членов которой равна \(S_n\). Какое из следующих утверждений о пределах \(\{a_n\}\) и \(\{S_n\}\) верно?
Ошибка в источнике: отмечен ответ D, верный C: пределы равны \(0\) и \(1\).
Решение
\( a_n = \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \to 0 \) при \( n \to \infty \), предел существует и равен 0.
\( S_n \) — сумма геометрической прогрессии: \( S_n = \dfrac{\frac{1}{2}\left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n\right)}{1 - \frac{1}{2}} = 1 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \).
\( S_n \to 1 \) при \( n \to \infty \), предел существует и равен 1.
Оба предела существуют, но не равны: \( 0 \neq 1 \).
Ответ: C.