设复数 \(z_1\) 和 \(z_2\) 对应的向量分别为 \(\vec{OA}\) 和 \(\vec{OB}\)，且 \(z_1 = 1 + i\)。若将 \(\vec{OA}\) 绕原点顺时针旋转 \(\dfrac{\pi}{4}\)，将 \(\vec{OB}\) 绕原点逆时针旋转 \(\dfrac{\pi}{4}\)，使得这两个向量的终点重合，则 \(z_2 =\)：
Let the vectors corresponding to the complex numbers \(z_1\) and \(z_2\) be \(\vec{OA}\) and \(\vec{OB}\) respectively, with \(z_1 = 1 + i\). If \(\vec{OA}\) is rotated clockwise about the origin by \(\dfrac{\pi}{4}\) and \(\vec{OB}\) is rotated counterclockwise about the origin by \(\dfrac{\pi}{4}\) so that the endpoints of the two vectors coincide, then \(z_2 =\):
Пусть комплексным числам \(z_1\) и \(z_2\) соответствуют векторы \(\vec{OA}\) и \(\vec{OB}\), причём \(z_1 = 1 + i\). Если вектор \(\vec{OA}\) повернуть вокруг начала координат по часовой стрелке на угол \(\dfrac{\pi}{4}\), а вектор \(\vec{OB}\) — против часовой стрелки на угол \(\dfrac{\pi}{4}\), так что концы этих векторов совпадут, то \(z_2 =\):
Ошибка в источнике: отмечен ответ B, верный A.
Решение
Поворот по часовой стрелке на \( \dfrac{\pi}{4} \) — умножение на \( e^{-i\pi/4} \), против часовой — на \( e^{i\pi/4} \).
Совпадение концов: \( z_1 e^{-i\pi/4}=z_2 e^{i\pi/4} \), откуда \( z_2=z_1 e^{-i\pi/2}=-i z_1 \).
Вычисляем: \( z_2=-i(1+i)=1-i \).
Ответ: A.