若数列 \(\{a_n\}\) 满足 \(a_1=1\)，\(a_n=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{a_{n-1}}}\)（\(n\ge 2\)），则 \(a_{100}=\)
Given that the sequence \(\{a_n\}\) satisfies \(a_1=1\), \(a_n=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{a_{n-1}}}\) (\(n\ge 2\)), then \(a_{100}=\)
Дано, что последовательность \(\{a_n\}\) удовлетворяет условиям \(a_1=1\), \(a_n=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{a_{n-1}}}\) (\(n\ge 2\)). Тогда \(a_{100}=\)
Решение
Упростим рекуррентное соотношение: \( a_n = \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{a_{n-1}}} = \dfrac{a_{n-1}}{a_{n-1}+1} \).\nТогда \( \dfrac{1}{a_n} = \dfrac{a_{n-1}+1}{a_{n-1}} = 1 + \dfrac{1}{a_{n-1}} \).\nПоследовательность \( b_n = \dfrac{1}{a_n} \) арифметическая с разностью 1.\n\( b_1 = 1 \), значит \( b_n = n \), откуда \( a_n = \dfrac{1}{n} \).\n\( a_{100} = \dfrac{1}{100} \).\nОтвет: B.