2025年12月December 2025Декабрь 2025

Множество \(A=\{1,2\}\) содержит элементы 1 и 2.

Множество \(B=\{1,2,3\}\) содержит элементы 1, 2 и 3.

Каждый элемент множества \(A\) принадлежит множеству \(B\), поэтому \(A \subseteq B\).

Вариант A неверен, так как 3 не входит в \(A\).

Вариант B неверен, так как множества содержат разное число элементов.

Вариант D противоречит установленному включению.

Ответ: C.

Множество \(A=(-1,3)\) содержит числа от \(-1\) до \(3\), не включая обе границы.

Множество \(B=[2,4]\) содержит числа от \(2\) до \(4\), включая обе границы.

Пересечение состоит из чисел, принадлежащих обоим промежуткам, то есть от \(2\) до \(3\).

Точка \(2\) входит в оба множества, поэтому левая граница включается.

Точка \(3\) не входит в \(A\), поэтому правая граница не включается.

Получаем промежуток \([2,3)\).

Ответ: B.

Решаем квадратное уравнение \(x^2-5x+4=0\).

По теореме Виета сумма корней равна 5, произведение равно 4, откуда корни \(x_1=1\) и \(x_2=4\).

Старший коэффициент положителен, поэтому парабола направлена ветвями вверх.

Неравенство \(x^2-5x+4<0\) выполняется между корнями.

Множество решений есть интервал \((1,4)\).

Ответ: D.

Выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным: \(x+1 \geq 0\).

Корень стоит в знаменателе дроби, поэтому он не может равняться нулю: \(\sqrt{x+1} \neq 0\).

Объединяя условия, получаем строгое неравенство \(x+1>0\).

Отсюда \(x>-1\).

Область определения функции есть промежуток \((-1,+\infty)\).

Ответ: B.

Формула общего члена арифметической прогрессии: \(a_n = a_1 + (n-1)d\).

Подставляем известные значения: \(a_1=5\), \(d=2\), \(n=100\).

Вычисляем \(a_{100} = 5 + (100-1) \cdot 2\).

Упрощаем выражение: \(a_{100} = 5 + 99 \cdot 2 = 5 + 198 = 203\).

Ответ: A.

Абсцисса точки равна \(-1\), что меньше нуля.

Ордината равна \(3 - \pi\), и так как \(\pi \approx 3.14\), получаем \(3 - \pi < 0\).

Точка с отрицательной абсциссой и отрицательной ординатой лежит в третьей четверти.

Ответ: A.

Значения тригонометрических функций: \(\sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\), \(\cos\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\), \(\tan\dfrac{\pi}{4} = 1\).

Сумма синуса и косинуса: \(\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\).

Умножаем на тангенс: \(\sqrt{2} \times 1 = \sqrt{2}\).

Ответ: C.

Функция нечётная, если \(f(-x) = -f(x)\) для всех \(x\) из области определения.

Для \(y = x + x^3\) получаем \(f(-x) = -x + (-x)^3 = -x - x^3 = -(x + x^3) = -f(x)\), значит функция нечётная.

Вариант A: \((-x)\sin(-x) = x\sin x\) — чётная.

Варианты B и C также чётные, так как \((-x)^4 = x^4\) и \(\cos(-x) = \cos x\).

Ответ: D.

Чтобы найти обратную функцию, выражаем \(x\) через \(y\) из уравнения \(y=x^3\).

Извлекаем кубический корень: \(x=\sqrt[3]{y}\).

Меняем переменные местами: \(y=\sqrt[3]{x}\).

Ответ: D.

\(y=\left(\dfrac{1}{3}\right)^x\) убывает, так как основание меньше \(1\).

\(y=\log_{0.5}x\) убывает, так как основание логарифма меньше \(1\).

\(y=\sin x\) не монотонна на всей прямой.

\(y=2x+1\) — линейная функция с угловым коэффициентом \(2>0\), она возрастает.

Ответ: C.

В третьей четверти координатной плоскости обе координаты точки отрицательны.

У точки \( (-1, -2) \) абсцисса \( -1 < 0 \) и ордината \( -2 < 0 \), значит она лежит в третьей четверти.

Точка \( (-1, 2) \) во второй четверти, \( (2, 2) \) в первой, \( (1, -2) \) в четвёртой.

Ответ: A.

Перенесём единицу влево: \( \dfrac{x-1}{x-2} - 1 \leq 0 \).

Приведём к общему знаменателю: \( \dfrac{x-1-(x-2)}{x-2} \leq 0 \), то есть \( \dfrac{1}{x-2} \leq 0 \).

Дробь с положительным числителем неположительна тогда и только тогда, когда знаменатель отрицателен: \( x - 2 < 0 \).

Получаем \( x < 2 \), что соответствует промежутку \( (-\infty, 2) \).

Ответ: C.

По свойству арифметической прогрессии средний член равен полусумме крайних: \( b = \dfrac{a+c}{2} \).

Подставим известную сумму: \( b = \dfrac{20}{2} = 10 \).

Ответ: A.

Угловой коэффициент прямой \( y = \sqrt{3}x + 10 \) равен \( k = \sqrt{3} \).

Угловой коэффициент связан с углом наклона формулой \( k = \tan\alpha \).

Находим угол: \( \tan\alpha = \sqrt{3} \), откуда \( \alpha = 60° \).

Ответ: A.

A: основание \(0{,}75<1\), функция убывает, поэтому \(0{,}75^{-0{,}2}<0{,}75^{-0{,}4}\) — неверно.\nB: основание \(3>1\), функция возрастает, поэтому \(3^{4{,}5}<3^5\) — неверно.\nC: слева и справа одно и то же число, строгое неравенство невозможно — неверно.\nD: степень \(\dfrac{2}{3}>0\), функция \(x^{2/3}\) возрастает при \(x>0\), а \(2{,}1>1{,}2\), значит \(2{,}1^{2/3}>1{,}2^{2/3}\) — верно.

Ответ: D.

Точка \(P(1,y)\) лежит на конечной стороне угла \(\alpha\).

По определению \(\tan\alpha=\dfrac{y}{x}=\dfrac{y}{1}=y\).

Так как \(\tan\alpha=2\), получаем \(y=2\).

Ответ: D.

Разность прогрессии \(d=a_2-a_1=2-1=1\).

Общий член: \(a_n=a_1+(n-1)d=1+(n-1)=n\).

Тогда \(a_{2025}=2025\).

Ответ: B.

Каноническое уравнение окружности с центром \((a, b)\) и радиусом \(r\): \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\).

Подставляем центр \((-3, 2)\): получаем \((x-(-3))^2+(y-2)^2=(x+3)^2+(y-2)^2\).

Радиус \(4\) возводим в квадрат: \(r^2=16\).

Итоговое уравнение: \((x+3)^2+(y-2)^2=16\), это вариант D.

Ответ: D.

По основному тригонометрическому тождеству \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\).

\(\cos^2\alpha=1-\left(\dfrac{3}{5}\right)^2=1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25}\), значит \(\cos\alpha=\pm\dfrac{4}{5}\).

Во второй четверти косинус отрицателен, поэтому \(\cos\alpha=-\dfrac{4}{5}\).

Ответ: B.

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \(x-1\ge 0\).

Отсюда \(x\ge 1\), то есть \(x\in[1,+\infty)\).

При \(x=1\) корень определён, поэтому скобка квадратная; варианты B, C, D не подходят.

Ответ: A.

Дополняем до полных квадратов: \(x^2 + 2x = (x + 1)^2 - 1\) и \(y^2 - 2y = (y - 1)^2 - 1\).

Уравнение принимает вид \((x + 1)^2 + (y - 1)^2 - 2 = 0\), то есть \((x + 1)^2 + (y - 1)^2 = 2\).

Правая часть равна \(r^2 = 2\), значит \(r = \sqrt{2}\).

Ответ: C.

\(\alpha\) острый, поэтому \(\cos\alpha>0\).

По основному тождеству \(\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-\dfrac{3}{4}}=\dfrac{1}{2}\).

Тогда \(\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\dfrac{\sqrt{3}/2}{1/2}=\sqrt{3}\).

Ответ: B.

Знаменатель прогрессии \(q=\dfrac{a_2}{a_1}=\dfrac{2}{1}=2\).

Общий член геометрической прогрессии \(a_n=a_1\cdot q^{n-1}=1\cdot 2^{n-1}\).

Проверка: \(a_1=1\), \(a_2=2\), \(a_3=4\) — совпадает с условием.

Ответ: C.

Показательная функция \(y=5^x\) с основанием \(5>1\) возрастает, поэтому из \(a>b\) следует \(5^a>5^b\).\nA неверно: при \(a=1\), \(b=-1\) имеем \(\dfrac{1}{a}=1>-1=\dfrac{1}{b}\).\nB неверно: при \(a=1\), \(b=-2\) имеем \(a^2=1<4=b^2\).\nD неверно: при \(a=\pi\), \(b=\dfrac{\pi}{2}\) имеем \(\sin a=0<1=\sin b\).

Ответ: C.

Используем формулу расстояния между двумя точками: \(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\).

Подставляем координаты точек \(P(-1, 2)\) и \(Q(3, 1)\).

Разность абсцисс: \(3 - (-1) = 4\), разность ординат: \(1 - 2 = -1\).

Вычисляем: \(d = \sqrt{4^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}\).

Ответ: A.

Функция \(y = \left(\dfrac{1}{2}\right)^x\) является показательной функцией с основанием \(a = \dfrac{1}{2}\).

Так как \(0 < a < 1\), функция монотонно убывает на всей числовой прямой.

Показательная функция не является ни чётной, ни нечётной, поэтому симметрии относительно оси ординат или начала координат нет.

График расположен выше оси абсцисс, поэтому симметрия относительно оси \(x\) невозможна.

Варианты A, B и C неверны, верен только вариант D.

Ответ: D.

Используем формулу двойного угла: \(\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha\).

Подставляем \(\sin \alpha = \dfrac{1}{4}\): \(\cos 2\alpha = 1 - 2 \cdot \left(\dfrac{1}{4}\right)^2\).

Вычисляем: \(1 - 2 \cdot \dfrac{1}{16} = 1 - \dfrac{1}{8} = \dfrac{7}{8}\).

Ответ: C.

Приравниваем \(y\) из первого уравнения во второе: \(x + (2x + 1) + 1 = 0\).

Решаем: \(3x + 2 = 0\), откуда \(x = -\dfrac{2}{3}\).

Находим \(y\): \(y = 2 \cdot \left(-\dfrac{2}{3}\right) + 1 = -\dfrac{4}{3} + \dfrac{3}{3} = -\dfrac{1}{3}\).

Точка пересечения: \(\left(-\dfrac{2}{3}, -\dfrac{1}{3}\right)\).

Ответ: D.

Уравнение \(x^2 - y^2 = 1\) — каноническое уравнение гиперболы с \(a^2 = 1\) и \(b^2 = 1\).

Находим фокусное расстояние: \(c^2 = a^2 + b^2 = 1 + 1 = 2\), значит \(c = \sqrt{2}\).

Так как знак минус перед \(y^2\), фокусы лежат на оси \(Ox\): \((\pm \sqrt{2}, 0)\).

Ответ: A.

Вычисляем первое слагаемое: \(\log_2 32 = \log_2 2^5 = 5\).

Вычисляем второе слагаемое: \(\log_{\frac{1}{2}} 32 = \log_{2^{-1}} 2^5 = \dfrac{5}{-1} = -5\).

Складываем: \(5 + (-5) = 0\).

Ответ: C.

Проверяем вариант A: \(\cos(x + \pi) = -\cos x\), а не \(\cos x\), неверно.

Проверяем вариант B: \(\cos(-x) = \cos x\), функция чётная, а не нечётная, неверно.

Проверяем вариант C: на \([0, \pi]\) функция убывает от \(1\) до \(-1\), неверно.

Вариант D верен: период косинуса равен \(2\pi\).

Ответ: D.

Уравнение \(y^2 = 4x\) имеет вид \(y^2 = 2px\), где \(2p = 4\), значит \(p = 2\).

Фокус такой параболы находится в точке \(\left(\dfrac{p}{2}, 0\right) = (1, 0)\).

Проверка A: при \(x = -4\) получаем \(y^2 = -16\), невозможно, точка не лежит на параболе.

Ось симметрии — ось \(y = 0\), а не \(x = 0\), вариант B неверен.

Фокус один, а не два, вариант C неверен.

Ответ: D.

Прямая \(l: x + y + 3 = 0\) имеет угловой коэффициент \(-1\).

Перпендикулярная прямая должна иметь угловой коэффициент, обратный по знаку и величине: \(k = 1\).

Среди вариантов только прямая \(y = x + 2\) имеет угловой коэффициент \(1\).

Ответ: B.

Используем основное тригонометрическое тождество: \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\).

Подставляем значение косинуса: \(\sin^2\alpha = 1 - \left(-\dfrac{1}{2}\right)^2 = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}\).

Так как угол \(\alpha\) лежит во второй четверти, синус положителен.

Извлекаем корень: \(\sin\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

Ответ: B.

Представим угол \(\dfrac{\pi}{12}\) как разность \(\dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\pi}{6}\).

Применим формулу косинуса разности: \(\cos\left(\dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\pi}{6}\right) = \cos\dfrac{\pi}{4}\cos\dfrac{\pi}{6} + \sin\dfrac{\pi}{4}\sin\dfrac{\pi}{6}\).

Подставим известные значения: \(\dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{1}{2}\).

Выполним умножение дробей: \(\dfrac{\sqrt{6}}{4} + \dfrac{\sqrt{2}}{4}\).

Сложим дроби с одинаковым знаменателем: \(\dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\).

Ответ: B.

Две функции тождественны, если совпадают их области определения и правила вычисления значений.

Функция \(y = |x|\) определена при всех действительных \(x\) и принимает неотрицательные значения.

Вариант A: \(y = \sqrt[3]{x^3} = x\), что не равно \(|x|\) при отрицательных \(x\).

Вариант B: \(y = (\sqrt{x})^2 = x\) определена только при \(x \geq 0\), область определения уже.

Вариант C: \(y = x\) принимает отрицательные значения, не совпадает с \(|x|\).

Вариант D: \(y = \sqrt{x^2} = |x|\), область определения — все действительные числа, правило совпадает.

Ответ: D.

Так как \(\alpha\) — острый угол и \(\cos\alpha = \dfrac{1}{2}\), то \(\alpha = \dfrac{\pi}{3}\).

Половина этого угла равна \(\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{\pi}{6}\).

Угол \(\dfrac{\pi}{6}\) лежит в первой четверти, поэтому его синус положителен, варианты A и B с \(\pm\) отбрасываем.

Вычислим значение: \(\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}\).

Ответ: D.

Проверим формулы приведения для каждой из предложенных записей.

Вариант A: \(\cos(2\pi - \alpha) = \cos\alpha\) — верная формула, так как период косинуса равен \(2\pi\).

Вариант B: \(\tan(\pi + \alpha) = \tan\alpha\), а не \(-\tan\alpha\), поскольку тангенс имеет период \(\pi\). Эта формула неверна.

Вариант C: \(\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha\) — верная формула приведения для второй четверти.

Вариант D: \(\sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cos\alpha\) — верная формула перехода к кофункции.

Ответ: B.

Каноническое уравнение параболы с горизонтальной осью имеет вид \(y^2 = 2px\).

Из уравнения \(y^2 = -x\) получаем \(2p = -1\), откуда \(p = -\dfrac{1}{2}\).

Директриса такой параболы задаётся уравнением \(x = -\dfrac{p}{2}\).

Подставляем найденное значение: \(x = -\dfrac{-1/2}{2} = \dfrac{1}{4}\).

Ответ: C.

Разделим числитель и знаменатель на \(\cos\alpha\): \(\dfrac{1-\tan\alpha}{1+\tan\alpha}=\dfrac{1}{3}\).

Умножаем крест-накрест: \(3(1-\tan\alpha)=1+\tan\alpha\).

Раскрываем скобки: \(3-3\tan\alpha=1+\tan\alpha\).

Переносим члены: \(2=4\tan\alpha\), откуда \(\tan\alpha=\dfrac{1}{2}\).

Ответ: A.

Упростим рекуррентное соотношение: \( a_n = \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{a_{n-1}}} = \dfrac{a_{n-1}}{a_{n-1}+1} \).\nТогда \( \dfrac{1}{a_n} = \dfrac{a_{n-1}+1}{a_{n-1}} = 1 + \dfrac{1}{a_{n-1}} \).\nПоследовательность \( b_n = \dfrac{1}{a_n} \) арифметическая с разностью 1.\n\( b_1 = 1 \), значит \( b_n = n \), откуда \( a_n = \dfrac{1}{n} \).\n\( a_{100} = \dfrac{1}{100} \).\nОтвет: B.

Область определения \((0,+\infty)\), а не \((-\infty,+\infty)\) — A неверно.

При \(a>1\) логарифм возрастает — B неверно.

При \(a>1\) и \(0<x<1\) имеем \(\log_a x<0\) — C неверно.

При \(0<a<1\) функция \(y=\log_a x\) убывает на всей области определения — D верно.

Ответ: D.

Уравнение эллипса: \( \dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{20} = 1 \), где \( a^2 = 20 \), \( b^2 = 4 \).\nБольшая полуось \( a = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \) направлена вдоль оси \( y \).\nФокусы: \( c^2 = a^2 - b^2 = 20 - 4 = 16 \), \( c = 4 \).\nФокусы на оси \( y \): \( (0, \pm 4) \).\nВариант B неверен (фокусы не на оси \( x \)), C неверен (вершины \( (\pm 2, 0) \) и \( (0, \pm 2\sqrt{5}) \)), D неверен (длины осей \( 4\sqrt{5} \) и \( 4 \)).\nОтвет: A.

Найдём точку пересечения прямых \(l_2\) и \(l_3\), решив систему \(x+y+1=0\) и \(2x+y-1=0\).

Вычитая первое уравнение из второго, получаем \(x-2=0\), откуда \(x=2\), \(y=-3\).

Прямая \(l_1\) имеет угловой коэффициент \(-\dfrac{1}{2}\), поэтому перпендикулярная ей прямая \(l\) имеет угловой коэффициент \(2\).

Уравнение прямой \(l\), проходящей через точку \((2,-3)\) с угловым коэффициентом \(2\): \(y+3=2(x-2)\).

Раскрывая скобки, получаем \(y+3=2x-4\), то есть \(2x-y-7=0\).

Ответ: C.

По правилу сложения векторов \(\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}\).

Так как \(P\) — середина отрезка \(AB\), вектор \(\overrightarrow{AP}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\).

Вектор \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\), поэтому \(\overrightarrow{AP}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})\).

Подставляя, получаем \(\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})\).

Ответ: A.

Из \(z^3=1\) и \(z\ne 1\) следует \(1+z+z^2=0\), так как \(z^3-1=(z-1)(1+z+z^2)\).

В сумме 1000 слагаемых: 333 полные тройки \(z^{3k}(1+z+z^2)=0\) и последнее слагаемое \(z^{999}\).

\(z^{999}=(z^3)^{333}=1\), поэтому вся сумма равна \(1\).

Ответ: C.

В арифметической прогрессии \(a_2+a_{14}=a_6+a_{10}=2a_8\), поэтому \(a_2+a_6+a_{10}+a_{14}=4a_8\).

Перегруппируем условие: \(3(a_2+a_6)+2(a_6+a_{10}+a_{14})=3a_2+5a_6+2a_{10}+2a_{14}=24\).

Подставим \(a_n=a_1+(n-1)d\): получаем \(12a_1+78d=24\), то есть \(a_1+\dfrac{13}{2}d=2\), значит \(a_7=2\).

Тогда \(S_{13}=\dfrac{13(a_1+a_{13})}{2}=\dfrac{13\cdot 2a_7}{2}=13\cdot 2=26\).

Ответ: D.

Всего знаков зодиака 12, вероятности одинаковы.

Вероятность того, что все три знака различны: \(P=1\cdot \dfrac{11}{12}\cdot \dfrac{10}{12}=\dfrac{55}{72}\).

Искомая вероятность противоположного события: \(1-\dfrac{55}{72}=\dfrac{17}{72}\).

Ответ: A.