若复数 \(z\) 满足 \(z^3=1\) 且 \(z\ne 1\)，则 \(1+z+z^2+\cdots+z^{999}=\)
If the complex number \(z\) satisfies \(z^3=1\) and \(z\ne 1\), then \(1+z+z^2+\cdots+z^{999}=\)
Если комплексное число \(z\) удовлетворяет условиям \(z^3=1\) и \(z\ne 1\), то \(1+z+z^2+\cdots+z^{999}=\)
Решение
Из \(z^3=1\) и \(z\ne 1\) следует \(1+z+z^2=0\), так как \(z^3-1=(z-1)(1+z+z^2)\).
В сумме 1000 слагаемых: 333 полные тройки \(z^{3k}(1+z+z^2)=0\) и последнее слагаемое \(z^{999}\).
\(z^{999}=(z^3)^{333}=1\), поэтому вся сумма равна \(1\).
Ответ: C.