已知等差数列 \(\{a_n\}\) 满足 \(3(a_2+a_6)+2(a_6+a_{10}+a_{14})=24\)，则 \(S_{13}=\)
Given that the arithmetic sequence \(\{a_n\}\) satisfies \(3(a_2+a_6)+2(a_6+a_{10}+a_{14})=24\), then \(S_{13}=\)
Дано, что арифметическая прогрессия \(\{a_n\}\) удовлетворяет условию \(3(a_2+a_6)+2(a_6+a_{10}+a_{14})=24\). Тогда \(S_{13}=\)
Решение
В арифметической прогрессии \(a_2+a_{14}=a_6+a_{10}=2a_8\), поэтому \(a_2+a_6+a_{10}+a_{14}=4a_8\).
Перегруппируем условие: \(3(a_2+a_6)+2(a_6+a_{10}+a_{14})=3a_2+5a_6+2a_{10}+2a_{14}=24\).
Подставим \(a_n=a_1+(n-1)d\): получаем \(12a_1+78d=24\), то есть \(a_1+\dfrac{13}{2}d=2\), значит \(a_7=2\).
Тогда \(S_{13}=\dfrac{13(a_1+a_{13})}{2}=\dfrac{13\cdot 2a_7}{2}=13\cdot 2=26\).
Ответ: D.