设 \(\cos\alpha=-\dfrac{\sqrt{5}}{5}\)，并且 \(\alpha\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)\)。那么 \(\sin\left(\dfrac{\pi}{6}+\alpha\right)=\)
Let \(\cos\alpha=-\dfrac{\sqrt{5}}{5}\), and \(\alpha\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)\). Then \(\sin\left(\dfrac{\pi}{6}+\alpha\right)=\)
Пусть \(\cos\alpha=-\dfrac{\sqrt{5}}{5}\) и \(\alpha\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)\). Тогда \(\sin\left(\dfrac{\pi}{6}+\alpha\right)=\)
Решение
Угол \(\alpha\) находится во второй четверти, поэтому \(\sin\alpha > 0\).
Находим синус через основное тригонометрическое тождество: \(\sin\alpha = \sqrt{1 - \cos^2\alpha} = \sqrt{1 - \dfrac{5}{25}} = \sqrt{\dfrac{20}{25}} = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}\).
Применяем формулу синуса суммы: \(\sin\left(\dfrac{\pi}{6} + \alpha\right) = \sin\dfrac{\pi}{6}\cos\alpha + \cos\dfrac{\pi}{6}\sin\alpha\).
Подставляем известные значения: \(\dfrac{1}{2} \cdot \left(-\dfrac{\sqrt{5}}{5}\right) + \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{2\sqrt{5}}{5}\).
Выполняем умножение: \(-\dfrac{\sqrt{5}}{10} + \dfrac{2\sqrt{15}}{10} = \dfrac{2\sqrt{15} - \sqrt{5}}{10}\).
Ответ: C.