CSCA · Математика

2026年1月January 2026Январь 2026

48 задач, 60 минут · реальная сессия, восстановлена по памяти сдававших · CSCA Math Exam · текстом

0 из 48
1Задача 49集合SetsМножества
设 \(A=\{6,7,8,9,10\}\) 是一个集合，\(\emptyset\) 表示空集。那么下列哪个陈述是正确的？
Let \(A=\{6,7,8,9,10\}\) be a set, and \(\emptyset\) denote the empty set. Then which of the following statements is correct?
Пусть \(A=\{6,7,8,9,10\}\) — множество, а \(\emptyset\) обозначает пустое множество. Какое из следующих утверждений верно?
Решение

Множество \(A = \{6, 7, 8, 9, 10\}\) содержит элемент 9, поэтому запись \(9 \in A\) верна.

Запись \(\{6\} \in A\) неверна, так как \(\{6\}\) является подмножеством, а не элементом множества \(A\).

Запись \(6 \subseteq A\) неверна, поскольку символ подмножества применяется к множествам, а 6 — это элемент.

Пустое множество \(\emptyset\) является подмножеством любого множества, но не элементом \(A\), поэтому \(\emptyset \in A\) неверно.

Ответ: A.

2Задача 50集合SetsМножества
设 \(A=\{x\mid -2\le x\le 2\}\) 和 \(B=\{x\mid x>0\}\) 是两个集合。那么 \(A\cup B\)=
Let \(A=\{x\mid -2 \le x \le 2\}\) and \(B=\{x\mid x > 0\}\) be two sets. Then \(A \cup B\) =
Пусть \(A=\{x\mid -2\le x\le 2\}\) и \(B=\{x\mid x>0\}\) — два множества. Тогда \(A\cup B\)=
Решение

\(A\) — отрезок \([-2;2]\), \(B\) — луч \(x>0\).

Объединение покрывает все \(x\) от \(-2\) и дальше: и отрезок, и луч.

Значит \(A\cup B=\{x\mid x\ge -2\}\).

Вариант B — только пересечение, A и D — части отрезка.

Ответ: C.

3Задача 51一元二次不等式Quadratic inequalitiesКвадратные неравенства
不等式 \(x^{2} - x - 2 > 0\) 的解集是：
The solution set of the inequality \(x^{2} - x - 2 > 0\) is:
Множество решений неравенства \(x^{2} - x - 2 > 0\) равно:
Решение

Разложим левую часть: \( x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1) \).\nНеравенство \( (x-2)(x+1) > 0 \) выполняется, когда оба множителя одного знака.\nОба положительны при \( x > 2 \), оба отрицательны при \( x < -1 \).\nРешение: \( x < -1 \) или \( x > 2 \).\nОтвет: A.

4Задача 52等差数列Arithmetic sequencesАрифметическая прогрессия
设 \(\{a_n\}\) 是一个等差数列，首项 \(a_{1}=2\)，公差 \(d=3\)。那么 \(a_{100}=\)
Let \(\{a_n\}\) be an arithmetic sequence, with the first term \(a_{1}=2\) and common difference \(d=3\). Then \(a_{100}=\)
Пусть \(\{a_n\}\) — арифметическая прогрессия с первым членом \(a_{1}=2\) и разностью \(d=3\). Тогда \(a_{100}=\)
Решение

Формула общего члена арифметической прогрессии: \( a_n = a_1 + (n-1)d \).

Подставляем \( n=100 \), \( a_1=2 \), \( d=3 \): \( a_{100} = 2 + 99 \cdot 3 \).

Вычисляем: \( 2 + 297 = 299 \).

Ответ: A.

5Задача 53定义域与值域Domain and rangeОбласть определения и значений
函数 \(f(x) = \dfrac{1}{x} + \sqrt{1 - x}\) 的定义域是：
The domain of the function \(f(x) = \dfrac{1}{x} + \sqrt{1 - x}\) is:
Область определения функции \(f(x) = \dfrac{1}{x} + \sqrt{1 - x}\) равна:
Решение

Для дроби \( \dfrac{1}{x} \) требуется \( x \neq 0 \).\nДля корня \( \sqrt{1-x} \) требуется \( 1-x \ge 0 \), то есть \( x \le 1 \).\nОбъединяя условия: \( x \le 1 \) и \( x \neq 0 \).\nОбласть определения: \( (-\infty, 0) \cup (0, 1] \).\nОтвет: C.

6Задача 54坐标与距离Coordinates and distanceКоординаты и расстояния
设点 \(P(1,2)\) 在直角坐标系中。如果点 \(Q\) 与 \(P\) 关于 \(x\) 轴对称，那么 \(Q\) 的坐标是：
Let \(P(1,2)\) be a point in the rectangular coordinate system. If a point \(Q\) together with \(P\) are symmetrical about the \(x\)-axis, then the coordinates of \(Q\) are:
Пусть точка \(P(1,2)\) задана в прямоугольной системе координат. Если точка \(Q\) симметрична точке \(P\) относительно оси \(x\), то координаты точки \(Q\) равны:
Решение

При симметрии относительно оси \(x\) абсцисса сохраняется, а ордината меняет знак.

Точка \(P(1,2)\) переходит в \(Q(1,-2)\).

Ответ: B.

7Задача 55任意角与诱导公式Angles, values and reduction formulasУглы, значения и формулы приведения
假设角 \(\alpha=30^{\circ}\)。那么下列哪个陈述是正确的？
Suppose that an angle \(\alpha=30^{\circ}\). Then which of the following statements is correct?
Пусть угол \(\alpha=30^{\circ}\). Тогда какое из следующих утверждений верно?
Решение

Для \(\alpha=30^{\circ}\): \(\sin\alpha=\dfrac{1}{2}\), \(\cos\alpha=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), \(\tan\alpha=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\).

Вариант A неверен: \(\sin 30^{\circ}=\dfrac{1}{2}\), а не \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).

Вариант C неверен: \(\cos 30^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), а не \(\dfrac{1}{2}\).

Вариант D неверен: \(\tan 30^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\), а не \(\sqrt{3}\).

Ответ: B.

8Задача 56单调性与奇偶性Monotonicity and parityМонотонность и чётность
关于函数 \(f(x)=x^4+3\)，下列哪个陈述是正确的？
About the function \(f(x)=x^4+3\), which of the following statements is correct?
О функции \(f(x)=x^4+3\), какое из следующих утверждений верно?
Решение

Проверяем чётность: \(f(-x)=(-x)^4+3=x^4+3=f(x)\).

Равенство \(f(-x)=f(x)\) выполнено для всех \(x\), значит функция чётная.

Ответ: D.

9Задача 57反函数与图象变换Inverse functions and graph transformationsОбратная функция и преобразования графиков
函数 \(y = x^3 + 3\)，\(x \in \mathbb{R}\) 的反函数是：
The inverse function of the function \(y = x^3 + 3\), \(x \in \mathbb{R}\) is:
Обратная функция функции \(y = x^3 + 3\), \(x \in \mathbb{R}\) равна:
Решение

Выражаем \(x\) через \(y\): \(y-3=x^3\), значит \(x=\sqrt[3]{y-3}\).

Меняем переменные местами: обратная функция \(y=\sqrt[3]{x-3}\).

Кубический корень определён при всех \(x\), поэтому \(x\in\mathbb{R}\).

Варианты с \(x+3\) и с ограничением области не подходят.

Ответ: A.

10Задача 58坐标与距离Coordinates and distanceКоординаты и расстояния
下列哪个点在第三象限？
Which of the following points is in the third quadrant?
Какая из следующих точек находится в третьей четверти?
Решение

В третьей четверти обе координаты отрицательны: \(x<0\), \(y<0\).

Точка \((-1,-2)\) имеет обе координаты отрицательными.

\((-1,2)\) — вторая четверть, \((1,2)\) — первая, \((1,-2)\) — четвёртая.

Ответ: B.

11Задача 59单调性与奇偶性Monotonicity and parityМонотонность и чётность
已知 \(y = |x|\)，下列哪个结论是正确的？
Given that \(y = |x|\), which of the following conclusions is correct?
Если \(y = |x|\), какое из следующих утверждений верно?
Решение

При \(x>0\) имеем \(y=|x|=x\), это возрастающая прямая.

При \(x<0\) имеем \(y=-x\), функция убывает.

На всей прямой \(\mathbb{R}\) функция не монотонна, поэтому C и D неверны.

Верное утверждение: при \(x>0\) функция возрастает.

Ответ: B.

12Задача 60分式与绝对值不等式Rational and absolute value inequalitiesДробные неравенства и неравенства с модулем
有理不等式 \(\dfrac{2x+1}{x-2} \le 0\) 的解集是：
The solution set of the rational inequality \(\dfrac{2x+1}{x-2} \le 0\) is:
Множество решений рационального неравенства \(\dfrac{2x+1}{x-2} \le 0\) равно:
Решение

Нули числителя и знаменателя: \(x=-\dfrac{1}{2}\) и \(x=2\).

Методом интервалов дробь неположительна на \(\left[-\dfrac{1}{2},\ 2\right)\).

Точка \(x=-\dfrac{1}{2}\) входит, так как неравенство нестрогое.

Точка \(x=2\) исключена, знаменатель обращается в нуль.

Ответ: A.

13Задача 61等差数列Arithmetic sequencesАрифметическая прогрессия
已知 \(a = 2 - \sqrt{3}\) 和 \(b = 2 + \sqrt{3}\)，a 和 b 的算术平均数是：
Given that \(a = 2 - \sqrt{3}\) and \(b = 2 + \sqrt{3}\), the arithmetic mean of a and b is:
Если \(a = 2 - \sqrt{3}\) и \(b = 2 + \sqrt{3}\), их арифметическое среднее равно:
Решение

Среднее арифметическое чисел \(a\) и \(b\) равно \(\dfrac{a+b}{2}\).

\(a+b=(2-\sqrt{3})+(2+\sqrt{3})=4\).

\(\dfrac{a+b}{2}=\dfrac{4}{2}=2\).

Ответ: B.

14Задача 62直线LinesПрямая
如果直线 \(l\) 经过点 \(A(-2,3)\) 和 \(B(3,1)\)，那么 \(l\) 的斜率是：
If the straight line \(l\) passes through the points \(A(-2,3)\) and \(B(3,1)\), then the slope of \(l\) is:
Если прямая \(l\) проходит через точки \(A(-2,3)\) и \(B(3,1)\), то угловой коэффициент прямой \(l\) равен:
Решение

Угловой коэффициент прямой через точки \(A(-2,3)\) и \(B(3,1)\): \(k=\dfrac{1-3}{3-(-2)}\).

\(k=\dfrac{-2}{5}=-\dfrac{2}{5}\).

Ответ: C.

15Задача 63任意角与诱导公式Angles, values and reduction formulasУглы, значения и формулы приведения
如果 \(\alpha\) 是 \(x\) 轴与一条过点 \(P(1,3)\) 的直线之间的夹角，那么 \(\sin\alpha=\)
If \(\alpha\) is the angle between the \(x\)-axis and a line containing the point \(P(1,3)\), then \(\sin\alpha=\)
Если \(\alpha\) — угол между осью \(x\) и прямой, проходящей через точку \(P(1,3)\), то \(\sin\alpha=\)

Ошибка в источнике: в условии не сказано, что прямая проходит через начало координат, это подразумевается.

Решение

Вектор направления прямой из начала координат через точку \(P(1,3)\) имеет координаты \((1,3)\).

Его длина равна \(\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}\).

Синус угла с осью \(Ox\) равен отношению ординаты к длине: \(\sin\alpha=\dfrac{3}{\sqrt{10}}\).

Рационализируем: \(\dfrac{3}{\sqrt{10}}=\dfrac{3\sqrt{10}}{10}\).

Ответ: B.

16Задача 64等差数列Arithmetic sequencesАрифметическая прогрессия
在以下四个数列中，等差数列的个数是： (1) 7,13,19,25 (2) 2,4,7,11 (3) -1,-3,-5,-7 (4) 2,4,8,16
Among the four sequences below, the number of arithmetic sequences is: (1) 7,13,19,25 (2) 2,4,7,11 (3) -1,-3,-5,-7 (4) 2,4,8,16
Среди четырёх приведённых последовательностей количество арифметических прогрессий равно: (1) 7,13,19,25 (2) 2,4,7,11 (3) -1,-3,-5,-7 (4) 2,4,8,16
Решение

Арифметическая прогрессия: разность соседних членов постоянна.

(1) \(13-7=6,\ 19-13=6,\ 25-19=6\) — арифметическая.

(2) \(4-2=2,\ 7-4=3\) — разности разные, не арифметическая.

(3) \(-3-(-1)=-2,\ -5-(-3)=-2,\ -7-(-5)=-2\) — арифметическая.

(4) \(4-2=2,\ 8-4=4\) — не арифметическая, это геометрическая.

Подходят две последовательности: (1) и (3).

Ответ: A.

17Задача 65坐标与距离Coordinates and distanceКоординаты и расстояния
平面上从点 \(A(3, -2)\) 到点 \(B(-5, -1)\) 的距离为 \(|AB|=\)
The distance from point \(A(3, -2)\) to point \(B(-5, -1)\) on the plane is \(|AB|=\)
Расстояние от точки \(A(3, -2)\) до точки \(B(-5, -1)\) на плоскости равно \(|AB|=\)
Решение

Расстояние между точками: \(|AB|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\).

\(x_2-x_1=-5-3=-8\), \(y_2-y_1=-1-(-2)=1\).

\(|AB|=\sqrt{(-8)^2+1^2}=\sqrt{64+1}=\sqrt{65}\).

Ответ: B.

18Задача 66直线LinesПрямая
如果一条直线 \(l\) 的倾斜角为 \(45^\circ\)，且经过点 \((0, 2)\)，则直线 \(l\) 的方程是：
If a straight line \(l\) has an angle of inclination of \(45^\circ\) and passes through the point \((0, 2)\), then the equation of \(l\) is:
Если прямая \(l\) имеет угол наклона \(45^\circ\) и проходит через точку \((0, 2)\), то уравнение прямой \(l\) имеет вид:
Решение

Угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона: \(k=\tan 45^\circ=1\).

Прямая проходит через \((0,2)\), значит \(b=2\) в уравнении \(y=kx+b\).

\(y=x+2\).

Ответ: B.

19Задача 67圆CirclesОкружность
如果一个圆的方程是 \(x^2 + y^2 - 4x - 3 = 0\)，则其圆心和半径分别为：
If the equation of a circle is \(x^2 + y^2 - 4x - 3 = 0\), then its center and radius are:
Если уравнение окружности имеет вид \(x^2 + y^2 - 4x - 3 = 0\), то её центр и радиус равны соответственно:
Решение

Выделяем полный квадрат: \(x^2-4x=(x-2)^2-4\).

Уравнение принимает вид \((x-2)^2+y^2=7\).

Центр окружности \((2,0)\), радиус \(\sqrt{7}\).

Ответ: C.

20Задача 68任意角与诱导公式Angles, values and reduction formulasУглы, значения и формулы приведения
已知 \(\sin\alpha = \dfrac{4}{5}\)，且角 \(\alpha\) 属于第二象限，则下列说法正确的是：
Given that \(\sin\alpha = \dfrac{4}{5}\) and the angle \(\alpha\) lies in the second quadrant, which of the following statements is correct?
Известно, что \(\sin\alpha = \dfrac{4}{5}\), а угол \(\alpha\) находится во второй четверти. Какое из следующих утверждений верно?
Решение

По основному тригонометрическому тождеству \(\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \dfrac{16}{25} = \dfrac{9}{25}\).

Так как угол \(\alpha\) лежит во второй четверти, косинус отрицателен, поэтому \(\cos\alpha = -\dfrac{3}{5}\).

Тангенс равен \(\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \dfrac{4/5}{-3/5} = -\dfrac{4}{3}\).

Вариант A неверен из-за знака косинуса, вариант C содержит перевёрнутую дробь для тангенса, вариант D имеет неверный знак.

Ответ: B.

21Задача 69等差数列Arithmetic sequencesАрифметическая прогрессия
在等差数列 \(\{a_n\}\) 中，若 \(a_2 = 1\) 且 \(a_4 = 5\)，则首项 \(a_1\) 和公差 \(d\) 分别是：
In an arithmetic sequence \(\{a_n\}\), if \(a_2 = 1\) and \(a_4 = 5\), then the first term \(a_1\) and common difference \(d\) are respectively:
В арифметической прогрессии \(\{a_n\}\) известно, что \(a_2 = 1\) и \(a_4 = 5\). Тогда первый член \(a_1\) и разность прогрессии \(d\) соответственно равны:
Решение

Разность арифметической прогрессии находится из соотношения \(a_4 - a_2 = 2d\), откуда \(5 - 1 = 2d\) и \(d = 2\).

Первый член вычисляем по формуле \(a_1 = a_2 - d = 1 - 2 = -1\).

Получаем \(a_1 = -1\) и \(d = 2\).

Ответ: A.

22Задача 70不等式性质与基本不等式Properties of inequalities, AM-GMСвойства неравенств, среднее арифметическое и геометрическое
设 \(a, b, c\) 为三个实数，则下列说法正确的是：
Let \(a, b, c\) be three real numbers. Which of the following statements is correct?
Пусть \(a, b, c\) — три действительных числа. Какое из следующих утверждений верно?
Решение

Прибавление одного и того же числа к обеим частям неравенства не меняет его знак, поэтому утверждение B верно всегда.

Утверждение A неверно при \(c < 0\), так как знак неравенства меняется на противоположный.

Утверждение C неверно по той же причине: если \(c < 0\), то из \(ac > bc\) следует \(a < b\).

Утверждение D неверно, например, при \(a = 1\) и \(b = -2\) получаем \(1 > -2\), но \(1 < 4\).

Ответ: B.

23Задача 71指数函数Exponential functionsПоказательная функция
关于指数函数 \(y = a^x\)（\(a > 0\) 且 \(a \neq 1\)），下列说法错误的是：
Regarding the exponential function \(y = a^x\) (\(a > 0\) and \(a \neq 1\)), which of the following statements is incorrect?
Относительно показательной функции \(y = a^x\) (\(a > 0\) и \(a \neq 1\)), какое из следующих утверждений неверно?
Решение

Область определения показательной функции \(y = a^x\) — все действительные числа, область значений — \((0, +\infty)\), график проходит через точку \((0, 1)\).

Утверждения A, B и D верны для любых допустимых оснований.

Если \(0 < a < 1\), функция убывает на всей области определения, поэтому утверждение C не всегда верно.

Ответ: C.

24Задача 72二倍角与半角公式Double and half angleДвойной и половинный угол
如果 \(\sin\alpha = \dfrac{3}{5}\)，且 \(\alpha\) 属于第一象限，则 \(\sin 2\alpha =\)
If \(\sin\alpha = \dfrac{3}{5}\) and \(\alpha\) belongs to the first quadrant, then \(\sin 2\alpha =\)
Если \(\sin\alpha = \dfrac{3}{5}\) и \(\alpha\) находится в первой четверти, то \(\sin 2\alpha =\)
Решение

Так как угол \(\alpha\) в первой четверти, косинус положителен: \(\cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha} = \sqrt{1 - \dfrac{9}{25}} = \dfrac{4}{5}\).

По формуле синуса двойного угла \(\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha\).

Подставляем значения: \(\sin 2\alpha = 2 \cdot \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{4}{5} = \dfrac{24}{25}\).

Ответ: B.

25Задача 73直线LinesПрямая
直线 \(l_1:3x-y+8=0\) 和 \(l_2:x+2y-9=0\) 的交点坐标是：
The intersection of the lines \(l_1:3x-y+8=0\) and \(l_2:x+2y-9=0\) has coordinates:
Точка пересечения прямых \(l_1:3x-y+8=0\) и \(l_2:x+2y-9=0\) имеет координаты:
Решение

Решаем систему: \(3x-y=-8\) и \(x+2y=9\).

Из первого уравнения \(y=3x+8\), подставляем во второе: \(x+2(3x+8)=9\).

Получаем \(7x+16=9\), откуда \(x=-1\).

Тогда \(y=3\cdot(-1)+8=5\), точка пересечения \((-1,5)\).

Ответ: D.

26Задача 74双曲线HyperbolasГипербола
已知双曲线的方程是 \(\dfrac{x^2}{64}-\dfrac{y^2}{16}=1\)，下列哪个陈述是正确的：
Given that the equation of a hyperbola is \(\dfrac{x^2}{64}-\dfrac{y^2}{16}=1\), which of the following statements is correct?
Дано уравнение гиперболы \(\dfrac{x^2}{64}-\dfrac{y^2}{16}=1\). Какое из следующих утверждений верно?
Решение

Из уравнения гиперболы \(\dfrac{x^2}{64}-\dfrac{y^2}{16}=1\) находим \(a^2=64\), \(b^2=16\), то есть \(a=8\), \(b=4\).

Параметр \(c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{64+16}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}\).

Фокусное расстояние равно \(2c=8\sqrt{5}\), что совпадает с вариантом A.

Длина полуоси действительной равна \(a=8\), а не \(4\), поэтому B неверно.

Эксцентриситет \(e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{4\sqrt{5}}{8}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\), поэтому C неверно.

Мнимая полуось равна \(b=4\), а не \(8\), поэтому D неверно.

Ответ: A.

27Задача 75指数函数Exponential functionsПоказательная функция
下列哪个不等式是正确的：
Which of the following inequalities is correct?
Какое из следующих неравенств верно?
Решение

Степенная функция \(y = x^{2/3}\) возрастает при \(x > 0\), так как показатель \(\dfrac{2}{3} > 0\).

Поскольку \(2.1 > 1.2 > 0\), получаем \(2.1^{2/3} > 1.2^{2/3}\), что совпадает с вариантом D.

В варианте A: \(2.1^{-2} < 1.2^{-2}\), так как \(2.1^2 > 1.2^2\).

В варианте B: основание \(0.75 < 1\), поэтому при большем показателе значение меньше, то есть \(0.75^{-0.2} < 0.75^{-0.4}\).

В варианте C: основание \(3 > 1\), поэтому \(3^{2.25} < 3^3\).

Ответ: D.

28Задача 76圆CirclesОкружность
一个圆的圆心在 \((-3,2)\)，半径为 \(4\)。那么该圆的方程是：
A circle has center at \((-3,2)\) and radius \(4\). Then the equation of the circle is:
Окружность имеет центр в точке \((-3,2)\) и радиус \(4\). Тогда уравнение окружности:
Решение

Каноническое уравнение окружности с центром \((a, b)\) и радиусом \(r\) имеет вид \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\).

Подставляем координаты центра \((-3, 2)\) и радиус \(r = 4\).

Получаем \((x - (-3))^2 + (y - 2)^2 = 4^2\).

Упрощаем выражение: \((x+3)^2+(y-2)^2=16\).

Ответ: D.

29Задача 77对数函数LogarithmsЛогарифмы
设 \(a>0\)，\(b>0\) 为实数。那么下列哪个陈述是不正确的：
Let \(a>0\) and \(b>0\) be real numbers. Then which of the following statements is incorrect?
Пусть \(a>0\) и \(b>0\) — действительные числа. Какое из следующих утверждений неверно?
Решение

Проверим свойства логарифмов для \(a > 0\) и \(b > 0\).

Вариант A: \(\ln(a^b) = b \ln a\) — верное свойство логарифма степени.

Вариант C: \(\ln\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b\) — верное свойство логарифма частного.

Вариант D: \(\ln(ab) = \ln a + \ln b\) — верное свойство логарифма произведения.

Вариант B: формула перехода к новому основанию \(\log_a b = \dfrac{\ln b}{\ln a}\) требует только условия \(a > 0\) и \(a \neq 1\), а ограничение \(b \neq 1\) является лишним и делает утверждение некорректным, так как при \(b = 1\) формула даёт верный результат \(\log_a 1 = 0\).

Ответ: B.

30Задача 78三角函数图象与性质Trigonometric graphs and propertiesГрафики и свойства тригонометрических функций
给定正弦函数 \(y=\sin x\)，下列哪个陈述是不正确的：
Given the sine function \(y=\sin x\), which of the following statements is incorrect?
Для функции синуса \(y=\sin x\) какое из следующих утверждений неверно?
Решение

Функция \(y = \sin x\) определена на всей числовой прямой, её область определения \(\mathbb{R}\), вариант D верен.

Наибольшее значение функции равно \(1\), наименьшее равно \(-1\), вариант A верен.

Функция периодическая с периодом \(2\pi\), вариант B верен.

Функция синуса является нечётной, так как \(\sin(-x) = -\sin x\), а не чётной, поэтому вариант C неверен.

Ответ: C.

31Задача 79抛物线ParabolasПарабола
设抛物线 \(y^2=4x\) 的焦点为 \(F\)，点 \(P\) 在抛物线上，且点 \(P\) 的横坐标为 \(4\)，则 \(|PF|\) =
Let the focus of the parabola \(y^2=4x\) be \(F\). Suppose that a point \(P\) is on the parabola, and the horizontal coordinate of \(P\) is \(4\). Then \(|PF|\) =
Пусть фокус параболы \(y^2=4x\) — это \(F\). Точка \(P\) лежит на параболе, и абсцисса точки \(P\) равна \(4\). Тогда \(|PF|\) =
Решение

Уравнение \(y^2=4x\) имеет вид \(y^2=2px\) с \(2p=4\), значит \(p=2\) и фокус \(F(1,0)\).

Директриса параболы — прямая \(x=-1\).

По определению параболы \(|PF|\) равно расстоянию от \(P\) до директрисы.

При абсциссе \(x_P=4\) это расстояние равно \(4-(-1)=5\).

Ответ: D.

32Задача 80直线LinesПрямая
给定两条直线 \(l_1\)：\(ax+(a-1)y+3=0\) 和 \(l_2\)：\(2x+ay-1=0\)。如果 \(l_1\perp l_2\)，那么 \(a\) 的值是：
Given two straight lines \(l_1\): \(ax+(a-1)y+3=0\) and \(l_2\): \(2x+ay-1=0\). If \(l_1\perp l_2\), then the value of \(a\) is:
Даны две прямые \(l_1\): \(ax+(a-1)y+3=0\) и \(l_2\): \(2x+ay-1=0\). Если \(l_1\perp l_2\), то значение \(a\) равно:
Решение

Две прямые \(A_1x + B_1y + C_1 = 0\) и \(A_2x + B_2y + C_2 = 0\) перпендикулярны тогда и только тогда, когда \(A_1A_2 + B_1B_2 = 0\).

Для данных прямых коэффициенты равны \(A_1 = a\), \(B_1 = a-1\), \(A_2 = 2\), \(B_2 = a\).

Составляем уравнение перпендикулярности: \(a \cdot 2 + (a-1) \cdot a = 0\).

Раскрываем скобки: \(2a + a^2 - a = 0\), что упрощается до \(a^2 + a = 0\).

Выносим общий множитель: \(a(a+1) = 0\), откуда \(a = 0\) или \(a = -1\).

Оба значения дают корректные пары перпендикулярных прямых.

Ответ: D.

33Задача 81坐标与距离Coordinates and distanceКоординаты и расстояния
点 \(P(-1,2)\) 和 \(Q(3,1)\) 之间的距离是：
The distance between the points \(P(-1,2)\) and \(Q(3,1)\) is:
Расстояние между точками \(P(-1,2)\) и \(Q(3,1)\) равно:
Решение

Применяем формулу расстояния между двумя точками: \(|PQ| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\).

Подставляем координаты точек \(P(-1,2)\) и \(Q(3,1)\): \(|PQ| = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (1 - 2)^2}\).

Вычисляем разности координат: \(3 - (-1) = 4\) и \(1 - 2 = -1\).

Возводим в квадрат и суммируем: \(4^2 + (-1)^2 = 16 + 1 = 17\).

Получаем расстояние \(|PQ| = \sqrt{17}\).

Ответ: B.

34Задача 82同角关系与和差公式Identities and sum formulasОсновные тождества и формулы суммы
设 \(\cos\alpha=-\dfrac{\sqrt{5}}{5}\)，并且 \(\alpha\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)\)。那么 \(\sin\left(\dfrac{\pi}{6}+\alpha\right)=\)
Let \(\cos\alpha=-\dfrac{\sqrt{5}}{5}\), and \(\alpha\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)\). Then \(\sin\left(\dfrac{\pi}{6}+\alpha\right)=\)
Пусть \(\cos\alpha=-\dfrac{\sqrt{5}}{5}\) и \(\alpha\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)\). Тогда \(\sin\left(\dfrac{\pi}{6}+\alpha\right)=\)
Решение

Угол \(\alpha\) находится во второй четверти, поэтому \(\sin\alpha > 0\).

Находим синус через основное тригонометрическое тождество: \(\sin\alpha = \sqrt{1 - \cos^2\alpha} = \sqrt{1 - \dfrac{5}{25}} = \sqrt{\dfrac{20}{25}} = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}\).

Применяем формулу синуса суммы: \(\sin\left(\dfrac{\pi}{6} + \alpha\right) = \sin\dfrac{\pi}{6}\cos\alpha + \cos\dfrac{\pi}{6}\sin\alpha\).

Подставляем известные значения: \(\dfrac{1}{2} \cdot \left(-\dfrac{\sqrt{5}}{5}\right) + \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{2\sqrt{5}}{5}\).

Выполняем умножение: \(-\dfrac{\sqrt{5}}{10} + \dfrac{2\sqrt{15}}{10} = \dfrac{2\sqrt{15} - \sqrt{5}}{10}\).

Ответ: C.

35Задача 83定义域与值域Domain and rangeОбласть определения и значений
下列哪组函数是同一个函数？
Which of the following pairs are the same function?
Какие из следующих пар являются одной и той же функцией?

Ошибка в источнике: варианты C и D восстановлены неточно: это не пары функций, а равенство D само по себе тоже верно.

Решение

Две функции совпадают, если у них одинаковые области определения и одинаковое правило соответствия.

В варианте A область определения первой функции \(x \geq 0\), а второй — все действительные числа, поэтому они не совпадают.

В варианте B дробь \(\dfrac{x^4-1}{x^2+1}\) определена при всех \(x\), так как знаменатель \(x^2+1 > 0\) всегда.

Числитель раскладывается как разность квадратов: \(x^4-1 = (x^2-1)(x^2+1)\).

После сокращения на \(x^2+1\) получаем \(y = x^2-1\) с той же областью определения, значит функции совпадают.

Варианты C и D являются тригонометрическими тождествами, а не парами функций.

Ответ: B.

36Задача 84二倍角与半角公式Double and half angleДвойной и половинный угол
设 \(\sin\alpha=-\dfrac{12}{13}\)，并且 \(\alpha\in\left(\pi,\dfrac{3\pi}{2}\right)\)。那么 \(\cos\dfrac{\alpha}{2}=\)
Let \(\sin\alpha=-\dfrac{12}{13}\), and \(\alpha\in\left(\pi,\dfrac{3\pi}{2}\right)\). Then \(\cos\dfrac{\alpha}{2}=\)
Пусть \(\sin\alpha=-\dfrac{12}{13}\) и \(\alpha\in\left(\pi,\dfrac{3\pi}{2}\right)\). Тогда \(\cos\dfrac{\alpha}{2}=\)
Решение

Угол \(\alpha\) лежит в третьей четверти, поэтому \(\cos\alpha < 0\).

Находим \(\cos\alpha = -\sqrt{1 - \sin^2\alpha} = -\sqrt{1 - \dfrac{144}{169}} = -\dfrac{5}{13}\).

Так как \(\alpha \in \left(\pi, \dfrac{3\pi}{2}\right)\), то \(\dfrac{\alpha}{2} \in \left(\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3\pi}{4}\right)\), значит \(\cos\dfrac{\alpha}{2} < 0\).

По формуле половинного угла \(\cos\dfrac{\alpha}{2} = -\sqrt{\dfrac{1 + \cos\alpha}{2}} = -\sqrt{\dfrac{1 - 5/13}{2}} = -\sqrt{\dfrac{4}{13}} = -\dfrac{2}{\sqrt{13}}\).

Избавляемся от иррациональности: \(-\dfrac{2}{\sqrt{13}} = -\dfrac{2\sqrt{13}}{13}\).

Варианты A и D положительны, вариант B не совпадает по модулю.

Ответ: C.

37Задача 85二倍角与半角公式Double and half angleДвойной и половинный угол
假设 \(\cos\alpha=-\dfrac{1}{2}\)，\(\alpha\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)\)，那么 \(\sin\dfrac{\alpha}{2}\) 的值是：
Suppose that \(\cos\alpha=-\dfrac{1}{2}\), \(\alpha\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)\), then the value of \(\sin\dfrac{\alpha}{2}\) is:
Предположим, что \(\cos\alpha=-\dfrac{1}{2}\), \(\alpha\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)\), тогда значение \(\sin\dfrac{\alpha}{2}\) равно:
Решение

Угол \(\alpha\) лежит во второй четверти, поэтому \(\dfrac{\alpha}{2} \in \left(\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{2}\right)\), то есть в первой четверти, где синус положителен.

Применяем формулу половинного угла: \(\sin\dfrac{\alpha}{2} = \sqrt{\dfrac{1 - \cos\alpha}{2}}\).

Подставляем \(\cos\alpha = -\dfrac{1}{2}\): \(\sin\dfrac{\alpha}{2} = \sqrt{\dfrac{1 + 1/2}{2}} = \sqrt{\dfrac{3}{4}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

Вариант A отрицателен, варианты C и D не равны полученному значению.

Ответ: B.

38Задача 86任意角与诱导公式Angles, values and reduction formulasУглы, значения и формулы приведения
下列哪个陈述是正确的？
Which of the following statements is correct?
Какое из следующих утверждений верно?
Решение

\(\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha\), поэтому A неверно.

\(\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha\), поэтому B неверно.

Синус нечётный: \(\sin(-\alpha)=-\sin\alpha\), поэтому C неверно.

Косинус чётный: \(\cos(-\alpha)=\cos\alpha\), поэтому D верно.

Ответ: D.

39Задача 87三角函数图象与性质Trigonometric graphs and propertiesГрафики и свойства тригонометрических функций
关于正切函数 \(y = \tan x\)，下列陈述正确的是：
About the tangent function \(y = \tan x\), which of the following statements is correct?
Какое из следующих утверждений о функции тангенса \(y = \tan x\) является верным?
Решение

Область значений \(y = \tan x\) — все действительные числа \(\mathbb{R}\), а не \([-1, 1]\), A неверно.

Область определения исключает точки \(x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k\), значит B неверно.

\(\tan(-x) = -\tan x\), функция нечётная, а не чётная, C неверно.

Наименьший положительный период тангенса равен \(\pi\).

Ответ: D.

40Задача 88递推数列与数列求和Recurrences and sumsРекуррентные последовательности и суммы
数列 \(-\dfrac{1}{5}, \dfrac{1}{7}, -\dfrac{1}{9}, \dfrac{1}{11}\) 的通项公式是 \(a_n =\)
The general term formula for the sequence \(-\dfrac{1}{5}, \dfrac{1}{7}, -\dfrac{1}{9}, \dfrac{1}{11}\) is \(a_n =\)
Формула общего члена последовательности \(-\dfrac{1}{5}, \dfrac{1}{7}, -\dfrac{1}{9}, \dfrac{1}{11}\) имеет вид \(a_n =\)
Решение

Знаки чередуются, начиная с минуса, значит множитель \((-1)^n\).

Знаменатели: \(5, 7, 9, 11\) — арифметическая прогрессия с общим членом \(2n + 3\).

Проверка: при \(n = 1\) получаем \(\dfrac{-1}{5}\), при \(n = 2\) получаем \(\dfrac{1}{7}\), совпадает.

Варианты A и D дают знаменатель \(3n+2 = 5, 8, 11\), не подходит.

Ответ: B.

41Задача 89对数函数LogarithmsЛогарифмы
如果函数 \(f(x)=2+\log_{a}(x-3)\) \((a>0,\ a\neq1)\) 的图像经过一个定点 \(P\)，则 \(P\) 的坐标是：
If the graph of the function \(f(x)=2+\log_{a}(x-3)\) \((a>0,\ a\neq1)\) passes through a fixed point \(P\), then the coordinates of \(P\) are:
Если график функции \(f(x)=2+\log_{a}(x-3)\) \((a>0,\ a\neq1)\) проходит через фиксированную точку \(P\), то координаты \(P\) равны:
Решение

Логарифм \(\log_{a}(x-3)\) равен нулю при \(x-3=1\), то есть при \(x=4\).

Подставляем \(x=4\) в функцию: \(f(4)=2+\log_{a}(1)=2+0=2\).

Функция проходит через точку \((4,2)\) при любом допустимом основании \(a\).

Ответ: D.

42Задача 90抛物线ParabolasПарабола
抛物线 \(y^{2}=-x\) 的准线方程是：
The equation of the directrix of the parabola \(y^{2}=-x\) is:
Уравнение директрисы параболы \(y^{2}=-x\) равно:
Решение

Каноническое уравнение параболы имеет вид \(y^{2}=2px\).

Из уравнения \(y^{2}=-x\) получаем \(2p=-1\), откуда \(p=-\dfrac{1}{2}\).

Директриса параболы задаётся уравнением \(x=-\dfrac{p}{2}\).

Подставляем: \(x=-\dfrac{-1/2}{2}=\dfrac{1}{4}\).

Ответ: A.

43Задача 91椭圆EllipsesЭллипс
假设椭圆 \(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1\) 的焦点是 \(F_{1}\) 和 \(F_{2}\)，且点 \(P\) 在椭圆上，则 \(|PF_{1}|+|PF_{2}|=\) ：
Suppose the ellipse \(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1\) has foci \(F_{1}\) and \(F_{2}\), and a point \(P\) lies on the ellipse. Then \(|PF_{1}|+|PF_{2}|=\) :
Пусть у эллипса \(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1\) фокусы \(F_{1}\) и \(F_{2}\), а точка \(P\) лежит на эллипсе. Тогда \(|PF_{1}|+|PF_{2}|=\) :
Решение

Уравнение эллипса \(\dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{2}=1\) даёт \(a^{2}=4\), значит \(a=2\).

По определению эллипса сумма расстояний от любой точки на нём до фокусов равна \(2a\).

Вычисляем: \(|PF_{1}|+|PF_{2}|=2\cdot 2=4\).

Ответ: B.

44Задача 92向量VectorsВекторы
已知向量 \(\vec{AB}=a+5b\)，\(\vec{BC}=-2a+8b\)，\(\vec{CD}=3a-3b\)。因此，：
Given vectors \(\vec{AB}=a+5b\), \(\vec{BC}=-2a+8b\), \(\vec{CD}=3a-3b\). Thus, :
Даны векторы \(\vec{AB}=a+5b\), \(\vec{BC}=-2a+8b\), \(\vec{CD}=3a-3b\). Следовательно, :
Решение

Найдём вектор \(\vec{BD}=\vec{BC}+\vec{CD}=(-2a+8b)+(3a-3b)=a+5b\).

Сравниваем с \(\vec{AB}=a+5b\) и видим, что \(\vec{BD}=\vec{AB}\).

Векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{BD}\) равны, значит они коллинеарны и имеют общую точку \(B\).

Следовательно, точки \(A\), \(B\) и \(D\) лежат на одной прямой.

Ответ: B.

45Задача 93直线LinesПрямая
假设直线 \(l\) 垂直于直线 \(l_{1}: x+2y+4=0\)，并且经过直线 \(l_{2}: x+y+1=0\) 与 \(l_{3}: 2x+y-1=0\) 的交点。则 \(l\) 的方程是：
Suppose a line \(l\) is perpendicular to the line \(l_{1}: x+2y+4=0\) and passes through the intersection of \(l_{2}: x+y+1=0\) and \(l_{3}: 2x+y-1=0\). The equation of \(l\) is:
Пусть прямая \(l\) перпендикулярна прямой \(l_{1}: x+2y+4=0\) и проходит через точку пересечения прямых \(l_{2}: x+y+1=0\) и \(l_{3}: 2x+y-1=0\). Уравнение \(l\) равно:
Решение

Прямая \(l_{1}: x+2y+4=0\) имеет угловой коэффициент \(-\dfrac{1}{2}\), поэтому перпендикулярная ей прямая \(l\) имеет угловой коэффициент \(2\).

Находим точку пересечения \(l_{2}\) и \(l_{3}\): из системы \(x+y+1=0\) и \(2x+y-1=0\) вычитаем первое из второго, получаем \(x=2\), \(y=-3\).

Уравнение прямой \(l\) с угловым коэффициентом \(2\) через точку \((2,-3)\): \(y+3=2(x-2)\).

Раскрываем скобки: \(y+3=2x-4\), то есть \(2x-y-7=0\).

Ответ: A.

46Задача 94复数Complex numbersКомплексные числа
在复平面上，表示复数 \(z\) 的点在直线 \(x-y=0\) 上。如果 \(z\) 是二次方程 \(x^{2}+mx+4=0\) 的一个根，则 \(m=\) ：
On the complex plane, the point representing a complex number \(z\) lies on the line \(x-y=0\). If \(z\) is a root of the quadratic equation \(x^{2}+mx+4=0\), then \(m=\) :
На комплексной плоскости точка, представляющая комплексное число \(z\), лежит на прямой \(x-y=0\). Если \(z\) является корнем квадратного уравнения \(x^{2}+mx+4=0\), то \(m=\) :
Решение

Точка \(z\) лежит на прямой \(x - y = 0\), значит \(z = a + ai\) для некоторого действительного \(a\).

Подставим в уравнение: \((a+ai)^2 + m(a+ai) + 4 = 0\).

Раскроем: \(a^2 + 2a^2 i - a^2 + ma + mai + 4 = 0\), то есть \(2a^2 i + ma + mai + 4 = 0\).

Мнимая часть равна нулю: \(2a^2 + ma = 0\), откуда \(a(2a + m) = 0\).

Если \(a = 0\), то из действительной части \(4 = 0\), что невозможно, поэтому \(m = -2a\).

Действительная часть: \(ma + 4 = 0\), подставляем \(m = -2a\): \(-2a^2 + 4 = 0\), откуда \(a^2 = 2\), \(a = \pm\sqrt{2}\).

Тогда \(m = -2a = \mp 2\sqrt{2}\), то есть \(m = 2\sqrt{2}\) или \(m = -2\sqrt{2}\).

Ответ: B.

47Задача 95等比数列Geometric sequencesГеометрическая прогрессия
假设数列 \(\{a_n\}\) 中，\(a_{1}=1\)，且 \(\frac{1}{a_n}+\frac{2}{a_{n+1}}=0\)（\(n=1,2,\dots\)）。另设数列 \(\{b_n\}\) 满足 \(b_n=|a_n|\)（\(n=1,2,\dots\)）。则数列 \(\{b_n\}\) 的前 \(n\) 项和为 \(S_n=\) ：
Suppose in a sequence \(\{a_n\}\) we have \(a_{1}=1\) and \(\frac{1}{a_n}+\frac{2}{a_{n+1}}=0\) for \(n=1,2,\dots\). Let another sequence \(\{b_n\}\) satisfy \(b_n=|a_n|\) for \(n=1,2,\dots\). Then the sum of the first \(n\) terms of \(\{b_n\}\) is \(S_n=\) :
Пусть в последовательности \(\{a_n\}\) задано \(a_{1}=1\) и \(\frac{1}{a_n}+\frac{2}{a_{n+1}}=0\) при \(n=1,2,\dots\). Другая последовательность \(\{b_n\}\) определяется как \(b_n=|a_n|\) при \(n=1,2,\dots\). Тогда сумма первых \(n\) членов \(\{b_n\}\) равна \(S_n=\) :
Решение

Из условия \(\dfrac{1}{a_n} + \dfrac{2}{a_{n+1}} = 0\) получаем \(a_{n+1} = -2a_n\).

Значит, \(\{a_n\}\) — геометрическая прогрессия с первым членом \(a_1 = 1\) и знаменателем \(q = -2\).

Общий член: \(a_n = (-2)^{n-1}\).

Тогда \(b_n = |a_n| = |(-2)^{n-1}| = 2^{n-1}\).

Последовательность \(\{b_n\}\) — геометрическая прогрессия с первым членом 1 и знаменателем 2.

Сумма первых \(n\) членов: \(S_n = \dfrac{1 \cdot (2^n - 1)}{2 - 1} = 2^n - 1\).

Ответ: C.

48Задача 96古典概型Classical probabilityКлассическая вероятность
在日常生活中，人们喜欢使用跑步应用来跟踪和分享他们的运动路线。为了了解某地区高中生和大学生使用跑步应用的情况，随机抽取了 200 名高中生和 80 名大学生，并记录了他们最喜欢的跑步应用如下：高中生：App A — 80，App B — 40，App C — 60，App D — 20；大学生：App A — 30，App B — 20，App C — 20，App D — 10。假设两组学生对跑步应用的偏好相互独立，如果从每组各随机选取一人，他们最喜欢的跑步应用不同的概率是：
In daily life, people enjoy using running apps to track and share their exercise routes. To understand the usage of running apps among high school and college students in a certain region, 200 high school students and 80 college students were randomly chosen, and their favorite running apps were recorded as follows. High school students: App A — 80, App B — 40, App C — 60, App D — 20; College students: App A — 30, App B — 20, App C — 20, App D — 10. Assuming the preferences are independent, if one person is randomly selected from each group, the probability that their favorite apps are different is:
В регионе было случайно отобрано 200 старшеклассников и 80 студентов колледжа, их любимые беговые приложения записаны: старшеклассники: App A — 80, App B — 40, App C — 60, App D — 20; студенты колледжа: App A — 30, App B — 20, App C — 20, App D — 10. При условии независимости предпочтений, если из каждой группы случайно выбрать по одному человеку, вероятность того, что их любимые приложения различны, равна:
Решение

Вероятности выбора каждого приложения школьником: A — \(\dfrac{80}{200} = \dfrac{2}{5}\), B — \(\dfrac{40}{200} = \dfrac{1}{5}\), C — \(\dfrac{60}{200} = \dfrac{3}{10}\), D — \(\dfrac{20}{200} = \dfrac{1}{10}\).

Вероятности выбора студентом: A — \(\dfrac{30}{80} = \dfrac{3}{8}\), B — \(\dfrac{20}{80} = \dfrac{1}{4}\), C — \(\dfrac{20}{80} = \dfrac{1}{4}\), D — \(\dfrac{10}{80} = \dfrac{1}{8}\).

Вероятность совпадения приложений: \(P = \dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{3}{8} + \dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{10} \cdot \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{10} \cdot \dfrac{1}{8}\).

Вычислим: \(P = \dfrac{6}{40} + \dfrac{1}{20} + \dfrac{3}{40} + \dfrac{1}{80} = \dfrac{12}{80} + \dfrac{4}{80} + \dfrac{6}{80} + \dfrac{1}{80} = \dfrac{23}{80}\).

Вероятность того, что приложения разные: \(1 - \dfrac{23}{80} = \dfrac{57}{80}\).

Ответ: B.