设 \(\sin\alpha=-\dfrac{12}{13}\)，并且 \(\alpha\in\left(\pi,\dfrac{3\pi}{2}\right)\)。那么 \(\cos\dfrac{\alpha}{2}=\)
Let \(\sin\alpha=-\dfrac{12}{13}\), and \(\alpha\in\left(\pi,\dfrac{3\pi}{2}\right)\). Then \(\cos\dfrac{\alpha}{2}=\)
Пусть \(\sin\alpha=-\dfrac{12}{13}\) и \(\alpha\in\left(\pi,\dfrac{3\pi}{2}\right)\). Тогда \(\cos\dfrac{\alpha}{2}=\)
Решение
Угол \(\alpha\) лежит в третьей четверти, поэтому \(\cos\alpha < 0\).
Находим \(\cos\alpha = -\sqrt{1 - \sin^2\alpha} = -\sqrt{1 - \dfrac{144}{169}} = -\dfrac{5}{13}\).
Так как \(\alpha \in \left(\pi, \dfrac{3\pi}{2}\right)\), то \(\dfrac{\alpha}{2} \in \left(\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3\pi}{4}\right)\), значит \(\cos\dfrac{\alpha}{2} < 0\).
По формуле половинного угла \(\cos\dfrac{\alpha}{2} = -\sqrt{\dfrac{1 + \cos\alpha}{2}} = -\sqrt{\dfrac{1 - 5/13}{2}} = -\sqrt{\dfrac{4}{13}} = -\dfrac{2}{\sqrt{13}}\).
Избавляемся от иррациональности: \(-\dfrac{2}{\sqrt{13}} = -\dfrac{2\sqrt{13}}{13}\).
Варианты A и D положительны, вариант B не совпадает по модулю.
Ответ: C.