假设数列 \(\{a_n\}\) 中，\(a_{1}=1\)，且 \(\frac{1}{a_n}+\frac{2}{a_{n+1}}=0\)（\(n=1,2,\dots\)）。另设数列 \(\{b_n\}\) 满足 \(b_n=|a_n|\)（\(n=1,2,\dots\)）。则数列 \(\{b_n\}\) 的前 \(n\) 项和为 \(S_n=\) ：
Suppose in a sequence \(\{a_n\}\) we have \(a_{1}=1\) and \(\frac{1}{a_n}+\frac{2}{a_{n+1}}=0\) for \(n=1,2,\dots\). Let another sequence \(\{b_n\}\) satisfy \(b_n=|a_n|\) for \(n=1,2,\dots\). Then the sum of the first \(n\) terms of \(\{b_n\}\) is \(S_n=\) :
Пусть в последовательности \(\{a_n\}\) задано \(a_{1}=1\) и \(\frac{1}{a_n}+\frac{2}{a_{n+1}}=0\) при \(n=1,2,\dots\). Другая последовательность \(\{b_n\}\) определяется как \(b_n=|a_n|\) при \(n=1,2,\dots\). Тогда сумма первых \(n\) членов \(\{b_n\}\) равна \(S_n=\) :
Решение
Из условия \(\dfrac{1}{a_n} + \dfrac{2}{a_{n+1}} = 0\) получаем \(a_{n+1} = -2a_n\).
Значит, \(\{a_n\}\) — геометрическая прогрессия с первым членом \(a_1 = 1\) и знаменателем \(q = -2\).
Общий член: \(a_n = (-2)^{n-1}\).
Тогда \(b_n = |a_n| = |(-2)^{n-1}| = 2^{n-1}\).
Последовательность \(\{b_n\}\) — геометрическая прогрессия с первым членом 1 и знаменателем 2.
Сумма первых \(n\) членов: \(S_n = \dfrac{1 \cdot (2^n - 1)}{2 - 1} = 2^n - 1\).
Ответ: C.