CSCA Math: Производная (Derivatives), 3 задачи с решениями

Задача 288 导数DerivativesПроизводная 模拟卷 Crossline, № 6Mock: Crossline, № 6Пробник Crossline, № 6

已知函数 \(f(x) = x^3 - x\)，则 \(f'(1)\) 等于：
Given the function \(f(x) = x^3 - x\), then \(f'(1)\) equals:
Дана функция \(f(x) = x^3 - x\), тогда \(f'(1)\) равно:

Ошибка в источнике: варианты B и D одинаковые, оба верны.

Решение

\(f'(x)=3x^2-1\).

\(f'(1)=3-1=2\).

Значение \(2\) стоит и в варианте B, и в варианте D; в ключе источника D.

Ответ: D.

Задача 320 导数DerivativesПроизводная 模拟卷 Crossline, № 38Mock: Crossline, № 38Пробник Crossline, № 38

已知曲线 \(y = x^3\) 在点 \(P\) 处的切线斜率 \(k\) 为 3，则点 \(P\) 的坐标为：
Given that the slope \(k\) of the tangent line to the curve \(y = x^3\) at point \(P\) is 3, the coordinates of point \(P\) are:
Угловой коэффициент \(k\) касательной к кривой \(y = x^3\) в точке \(P\) равен 3. Найдите координаты точки \(P\):

Решение

Производная \( y = x^3 \) равна \( y' = 3x^2 \).

По условию \( 3x^2 = 3 \), откуда \( x^2 = 1 \), \( x = \pm 1 \).

При \( x = 1 \): \( y = 1 \), точка \( (1, 1) \).

При \( x = -1 \): \( y = -1 \), точка \( (-1, -1) \).

Ответ: C.

Задача 321 导数DerivativesПроизводная 模拟卷 Crossline, № 39Mock: Crossline, № 39Пробник Crossline, № 39

设 \(f(x) = \ln(2x+1)\)，则 \(f'(x) =\)：
Let \(f(x) = \ln(2x+1)\). Then \(f'(x) =\):
Пусть \(f(x) = \ln(2x+1)\). Тогда \(f'(x) =\):

Решение

По правилу дифференцирования сложной функции \( (\ln u)' = \dfrac{u'}{u} \).

Здесь \( u = 2x+1 \), \( u' = 2 \).

Тогда \( f'(x) = \dfrac{2}{2x+1} \).

Ответ: B.