指数函数Exponential functionsПоказательная функция

A: основание \(0{,}75<1\), функция убывает, поэтому \(0{,}75^{-0{,}2}<0{,}75^{-0{,}4}\) — неверно.\nB: основание \(3>1\), функция возрастает, поэтому \(3^{4{,}5}<3^5\) — неверно.\nC: слева и справа одно и то же число, строгое неравенство невозможно — неверно.\nD: степень \(\dfrac{2}{3}>0\), функция \(x^{2/3}\) возрастает при \(x>0\), а \(2{,}1>1{,}2\), значит \(2{,}1^{2/3}>1{,}2^{2/3}\) — верно.

Ответ: D.

Функция \(y = \left(\dfrac{1}{2}\right)^x\) является показательной функцией с основанием \(a = \dfrac{1}{2}\).

Так как \(0 < a < 1\), функция монотонно убывает на всей числовой прямой.

Показательная функция не является ни чётной, ни нечётной, поэтому симметрии относительно оси ординат или начала координат нет.

График расположен выше оси абсцисс, поэтому симметрия относительно оси \(x\) невозможна.

Варианты A, B и C неверны, верен только вариант D.

Ответ: D.

Область определения показательной функции \(y = a^x\) — все действительные числа, область значений — \((0, +\infty)\), график проходит через точку \((0, 1)\).

Утверждения A, B и D верны для любых допустимых оснований.

Если \(0 < a < 1\), функция убывает на всей области определения, поэтому утверждение C не всегда верно.

Ответ: C.

Степенная функция \(y = x^{2/3}\) возрастает при \(x > 0\), так как показатель \(\dfrac{2}{3} > 0\).

Поскольку \(2.1 > 1.2 > 0\), получаем \(2.1^{2/3} > 1.2^{2/3}\), что совпадает с вариантом D.

В варианте A: \(2.1^{-2} < 1.2^{-2}\), так как \(2.1^2 > 1.2^2\).

В варианте B: основание \(0.75 < 1\), поэтому при большем показателе значение меньше, то есть \(0.75^{-0.2} < 0.75^{-0.4}\).

В варианте C: основание \(3 > 1\), поэтому \(3^{2.25} < 3^3\).

Ответ: D.

Показательная функция \(y=a^x\) определена при \(a>0\), \(a\neq 1\).

При \(a>1\) она возрастает на \(\mathbb{R}\), при \(0<a<1\) — убывает.

Значит условию возрастания отвечает \(a>1\).

Ответ: A.

Показательная функция \(y = a^x\) определена при \(a > 0\) и \(a \neq 1\).

Функция монотонно убывает на всей области определения тогда и только тогда, когда основание меньше единицы.

Следовательно, \(0 < a < 1\).

Вариант A допускает \(a > 1\), при котором функция возрастает.

Вариант D допускает отрицательные значения, при которых показательная функция не определена.

Ответ: B.

Функция \(y = \dfrac{1}{e^x} = e^{-x}\) имеет основание степени \(e > 1\) и отрицательный показатель, поэтому она монотонно убывает на всей числовой прямой.

Функция \(y = x^2 - 1\) убывает только при \(x < 0\) и возрастает при \(x > 0\).

Функция \(y = 100x\) является линейной с положительным коэффициентом и монотонно возрастает.

Функция \(y = \cos x\) периодически возрастает и убывает, не являясь монотонной.

Ответ: A.