Чтобы найти обратную функцию, выражаем \(x\) через \(y\) из уравнения \(y=x^3\).
Извлекаем кубический корень: \(x=\sqrt[3]{y}\).
Меняем переменные местами: \(y=\sqrt[3]{x}\).
Ответ: D.
Выражаем \(x\) через \(y\): \(y-3=x^3\), значит \(x=\sqrt[3]{y-3}\).
Меняем переменные местами: обратная функция \(y=\sqrt[3]{x-3}\).
Кубический корень определён при всех \(x\), поэтому \(x\in\mathbb{R}\).
Варианты с \(x+3\) и с ограничением области не подходят.
Ответ: A.
Выражаем \(x\) из \(y=\dfrac{3x-2}{2x+1}\): \(y(2x+1)=3x-2\).
\(2xy+y=3x-2\), \(x(2y-3)=-y-2\), \(x=\dfrac{-y-2}{2y-3}=-\dfrac{y+2}{2y-3}\).
Меняем \(x\) и \(y\): \(y=-\dfrac{x+2}{2x-3}\).
Ответ: D.
Чтобы найти обратную функцию, выражаем \(x\) через \(y\) из уравнения \(y = 10x + 3\).
Переносим 3 в левую часть: \(y - 3 = 10x\).
Делим обе части на 10: \(x = \dfrac{y - 3}{10}\).
Меняем переменные местами для записи обратной функции: \(y = \dfrac{x - 3}{10}\).
Ответ: D.
Исходная функция \(y = 2x\) задана на отрезке \(x \in [-1, 1]\).
Выражаем \(x\) через \(y\): \(x = \dfrac{y}{2}\).
Меняем переменные местами, получаем обратную функцию \(y = \dfrac{x}{2}\).
Область значений исходной функции при \(x \in [-1, 1]\) равна \([-2, 2]\), это и будет областью определения обратной функции.
Ответ: C.
Выражаем \(x\) через \(y\): \(x^3=1-y\), откуда \(x=\sqrt[3]{1-y}\).
Меняем местами переменные: \(y=\sqrt[3]{1-x}\).
Кубический корень определён при всех \(x\), ограничений нет.
Ответ: A.
Функции \(y=x^3\) и \(y=x^{1/3}\) являются взаимно обратными.
Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой \(y=x\).
Ответ: B.