CSCA · Математика

分式与绝对值不等式Rational and absolute value inequalitiesДробные неравенства и неравенства с модулем

6 задач · текстом

Задача 12分式与绝对值不等式Rational and absolute value inequalitiesДробные неравенства и неравенства с модулем2025年12月, № 12December 2025, № 12Декабрь 2025, № 12
不等式 \(\dfrac{x-1}{x-2} \leq 1\) 的解集为
The solution set of the inequality \(\dfrac{x-1}{x-2} \leq 1\) is
Множество решений неравенства \(\dfrac{x-1}{x-2} \leq 1\) равно
Решение

Перенесём единицу влево: \( \dfrac{x-1}{x-2} - 1 \leq 0 \).

Приведём к общему знаменателю: \( \dfrac{x-1-(x-2)}{x-2} \leq 0 \), то есть \( \dfrac{1}{x-2} \leq 0 \).

Дробь с положительным числителем неположительна тогда и только тогда, когда знаменатель отрицателен: \( x - 2 < 0 \).

Получаем \( x < 2 \), что соответствует промежутку \( (-\infty, 2) \).

Ответ: C.

Задача 60分式与绝对值不等式Rational and absolute value inequalitiesДробные неравенства и неравенства с модулем2026年1月, № 12January 2026, № 12Январь 2026, № 12
有理不等式 \(\dfrac{2x+1}{x-2} \le 0\) 的解集是：
The solution set of the rational inequality \(\dfrac{2x+1}{x-2} \le 0\) is:
Множество решений рационального неравенства \(\dfrac{2x+1}{x-2} \le 0\) равно:
Решение

Нули числителя и знаменателя: \(x=-\dfrac{1}{2}\) и \(x=2\).

Методом интервалов дробь неположительна на \(\left[-\dfrac{1}{2},\ 2\right)\).

Точка \(x=-\dfrac{1}{2}\) входит, так как неравенство нестрогое.

Точка \(x=2\) исключена, знаменатель обращается в нуль.

Ответ: A.

Задача 107分式与绝对值不等式Rational and absolute value inequalitiesДробные неравенства и неравенства с модулем2026年3月, № 11March 2026, № 11Март 2026, № 11
不等式 \(\dfrac{2x-3}{3x-4} \leq 0\) 的解集是：
The solution set of the inequality \(\dfrac{2x-3}{3x-4} \leq 0\) is:
Множество решений неравенства \(\dfrac{2x-3}{3x-4} \leq 0\) равно:
Решение

Нули числителя и знаменателя: \(2x-3=0\) даёт \(x=\dfrac{3}{2}\), \(3x-4=0\) даёт \(x=\dfrac{4}{3}\).

Методом интервалов дробь \(\le0\) между корнями: \(x\in\left[\dfrac{4}{3},\dfrac{3}{2}\right]\).

Знаменатель не может быть нулём, поэтому \(x=\dfrac{4}{3}\) исключаем, а \(x=\dfrac{3}{2}\) входит.

Итог: \(\left(\dfrac{4}{3},\dfrac{3}{2}\right]\).

Ответ: C.

Задача 150分式与绝对值不等式Rational and absolute value inequalitiesДробные неравенства и неравенства с модулем2026年4月, № 12April 2026, № 12Апрель 2026, № 12
不等式 \(\dfrac{2x + 1}{x - 1} < 0\) 的解集是
The solution set of the inequality \(\dfrac{2x + 1}{x - 1} < 0\) is
Множество решений неравенства \(\dfrac{2x + 1}{x - 1} < 0\) равно
Решение

Дробь отрицательна, когда числитель и знаменатель разных знаков

Нули: \(2x+1=0\) при \(x=-\dfrac{1}{2}\), \(x-1=0\) при \(x=1\)

На промежутке \(\left(-\dfrac{1}{2},1\right)\) числитель положителен, знаменатель отрицателен, дробь меньше нуля

Нули не входят: в \(x=-\dfrac{1}{2}\) дробь равна нулю, в \(x=1\) не определена

Ответ: B.

Задача 196分式与绝对值不等式Rational and absolute value inequalitiesДробные неравенства и неравенства с модулем2026年6月, № 10June 2026, № 10Июнь 2026, № 10
分式不等式 \(\dfrac{2}{x-2}\le 0\) 的解集为：
The solution set of the rational inequality \(\dfrac{2}{x-2}\le 0\) is:
Множество решений рационального неравенства \(\dfrac{2}{x-2}\le 0\):
Решение

Дробь \(\dfrac{2}{x-2}\) меньше или равна нулю, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки или числитель равен нулю.

Числитель равен \(2\), что строго больше нуля, поэтому дробь равна нулю быть не может.

Значит, знаменатель должен быть строго отрицательным: \(x - 2 < 0\).

Решая неравенство, получаем \(x < 2\), то есть множество решений \((-\infty, 2)\).

Ответ: A.

Задача 245分式与绝对值不等式Rational and absolute value inequalitiesДробные неравенства и неравенства с модулем模拟卷 CSCA Math Exam, № 11Mock: CSCA Math Exam, № 11Пробник CSCA Math Exam, № 11
分式不等式 \(\dfrac{2x-4}{x-1} \leq 0\) 的解集为：
The solution set of the fractional inequality \(\dfrac{2x-4}{x-1} \leq 0\) is:
Множество решений дробного неравенства \(\dfrac{2x-4}{x-1} \leq 0\):
Решение

Нули числителя и знаменателя: \(2x-4=0\) при \(x=2\), \(x-1=0\) при \(x=1\).

Методом интервалов дробь неположительна на \((1,2]\).

Точка \(x=1\) исключена, так как знаменатель обращается в нуль.

Точка \(x=2\) входит, так как неравенство нестрогое.

Ответ: A.