Показательная функция \(y=5^x\) с основанием \(5>1\) возрастает, поэтому из \(a>b\) следует \(5^a>5^b\).\nA неверно: при \(a=1\), \(b=-1\) имеем \(\dfrac{1}{a}=1>-1=\dfrac{1}{b}\).\nB неверно: при \(a=1\), \(b=-2\) имеем \(a^2=1<4=b^2\).\nD неверно: при \(a=\pi\), \(b=\dfrac{\pi}{2}\) имеем \(\sin a=0<1=\sin b\).
Ответ: C.
Прибавление одного и того же числа к обеим частям неравенства не меняет его знак, поэтому утверждение B верно всегда.
Утверждение A неверно при \(c < 0\), так как знак неравенства меняется на противоположный.
Утверждение C неверно по той же причине: если \(c < 0\), то из \(ac > bc\) следует \(a < b\).
Утверждение D неверно, например, при \(a = 1\) и \(b = -2\) получаем \(1 > -2\), но \(1 < 4\).
Ответ: B.
Функция \(f(x) = x^3\) возрастает на всей числовой прямой, поэтому из \(a > b\) следует \(a^3 > b^3\).
Вариант B неверен: при \(a = 1\), \(b = -2\) имеем \(a > b\), но \(|a| = 1 < 2 = |b|\).
Вариант C неверен: при \(a = 1\), \(b = -2\) получаем \(a^2 = 1 < 4 = b^2\).
Вариант D неверен: при \(a = 2\), \(b = 1\) имеем \(|a| = 2 > 1 = |b|\).
Ответ: A.
Прибавление одного и того же числа к обеим частям неравенства не меняет его знак.
Из \(a > b\) следует \(a + c > b + c\) при любом рациональном \(c\).
Варианты B и C неверны, так как при \(c < 0\) знак неравенства меняется, а при \(c = 0\) деление невозможно.
Вариант D неверен, так как вычитание \(c\) даёт \(a - c > b - c\).
Ответ: A.
Прибавление одного и того же числа к обеим частям неравенства сохраняет знак: из \(a > b\) следует \(a + c > b + c\).\nA неверно: \(a = 1\), \(b = -2\), тогда \(a^2 = 1 < 4 = b^2\).\nB неверно при \(c \le 0\): например, \(c = -1\) даёт \(ac < bc\).\nD неверно для того же примера: \(|1| < |-2|\).
Ответ: C.
Проверим вариант B: из условия \(a > c\) прибавляем к обеим частям \(b\), получаем \(a + b > b + c\), что верно всегда.
Вариант A неверен, так как при отрицательном \(c\) знак неравенства меняется на противоположный.
Вариант C эквивалентен \(a + c > 2b\), что не гарантировано условием \(a > b > c\).
Вариант D неверен, так как при отрицательном \(b\) умножение на него меняет знак неравенства.
Ответ: B.
Вычислим разность \((a+b)-(a-b)=2b\).
По условию \(b<0\), поэтому \(2b<0\).
Следовательно, \(a+b<a-b\).
Ответ: C.