CSCA · Математика

对数函数LogarithmsЛогарифмы

11 задач · текстом

Задача 30对数函数LogarithmsЛогарифмы2025年12月, № 30December 2025, № 30Декабрь 2025, № 30
计算 \(\log_2 32 + \log_{\frac{1}{2}} 32 =\)
Calculate \(\log_2 32 + \log_{\frac{1}{2}} 32 =\)
Вычислите \(\log_2 32 + \log_{\frac{1}{2}} 32 =\)
Решение

Вычисляем первое слагаемое: \(\log_2 32 = \log_2 2^5 = 5\).

Вычисляем второе слагаемое: \(\log_{\frac{1}{2}} 32 = \log_{2^{-1}} 2^5 = \dfrac{5}{-1} = -5\).

Складываем: \(5 + (-5) = 0\).

Ответ: C.

Задача 42对数函数LogarithmsЛогарифмы2025年12月, № 42December 2025, № 42Декабрь 2025, № 42
关于对数函数 \(y = \log_a x\) ，下面说法正确的是：
Which of the following statements about the logarithmic function \(y = \log_a x\) is correct?
Какое из следующих утверждений о логарифмической функции \(y = \log_a x\) верно?
Решение

Область определения \((0,+\infty)\), а не \((-\infty,+\infty)\) — A неверно.

При \(a>1\) логарифм возрастает — B неверно.

При \(a>1\) и \(0<x<1\) имеем \(\log_a x<0\) — C неверно.

При \(0<a<1\) функция \(y=\log_a x\) убывает на всей области определения — D верно.

Ответ: D.

Задача 77对数函数LogarithmsЛогарифмы2026年1月, № 29January 2026, № 29Январь 2026, № 29
设 \(a>0\)，\(b>0\) 为实数。那么下列哪个陈述是不正确的：
Let \(a>0\) and \(b>0\) be real numbers. Then which of the following statements is incorrect?
Пусть \(a>0\) и \(b>0\) — действительные числа. Какое из следующих утверждений неверно?
Решение

Проверим свойства логарифмов для \(a > 0\) и \(b > 0\).

Вариант A: \(\ln(a^b) = b \ln a\) — верное свойство логарифма степени.

Вариант C: \(\ln\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b\) — верное свойство логарифма частного.

Вариант D: \(\ln(ab) = \ln a + \ln b\) — верное свойство логарифма произведения.

Вариант B: формула перехода к новому основанию \(\log_a b = \dfrac{\ln b}{\ln a}\) требует только условия \(a > 0\) и \(a \neq 1\), а ограничение \(b \neq 1\) является лишним и делает утверждение некорректным, так как при \(b = 1\) формула даёт верный результат \(\log_a 1 = 0\).

Ответ: B.

Задача 89对数函数LogarithmsЛогарифмы2026年1月, № 41January 2026, № 41Январь 2026, № 41
如果函数 \(f(x)=2+\log_{a}(x-3)\) \((a>0,\ a\neq1)\) 的图像经过一个定点 \(P\)，则 \(P\) 的坐标是：
If the graph of the function \(f(x)=2+\log_{a}(x-3)\) \((a>0,\ a\neq1)\) passes through a fixed point \(P\), then the coordinates of \(P\) are:
Если график функции \(f(x)=2+\log_{a}(x-3)\) \((a>0,\ a\neq1)\) проходит через фиксированную точку \(P\), то координаты \(P\) равны:
Решение

Логарифм \(\log_{a}(x-3)\) равен нулю при \(x-3=1\), то есть при \(x=4\).

Подставляем \(x=4\) в функцию: \(f(4)=2+\log_{a}(1)=2+0=2\).

Функция проходит через точку \((4,2)\) при любом допустимом основании \(a\).

Ответ: D.

Задача 133对数函数LogarithmsЛогарифмы2026年3月, № 42March 2026, № 42Март 2026, № 42
设 \(f(x)=\log_5(2x+1)\)，则不等式 \(f(x)\ge 0\) 的解集是：
Let \(f(x)=\log_5(2x+1)\). Then the solution set of \(f(x)\ge 0\) is:
Пусть \(f(x)=\log_5(2x+1)\). Тогда множество решений неравенства \(f(x)\ge 0\):
Решение

Неравенство \( \log_5(2x+1)\ge 0 \) равносильно \( 2x+1\ge 5^0=1 \), так как основание \( 5>1 \).

Отсюда \( 2x\ge 0 \), то есть \( x\ge 0 \), при этом область определения \( x>-\dfrac{1}{2} \) выполнена.

Ответ: C.

Задача 215对数函数LogarithmsЛогарифмы2026年6月, № 29June 2026, № 29Июнь 2026, № 29
\(\dfrac{\log_5 8}{\log_{25} 4}+\log_5 1=\)。
\(\dfrac{\log_5 8}{\log_{25} 4}+\log_5 1=\).
\(\dfrac{\log_5 8}{\log_{25} 4}+\log_5 1=\).
Решение

Логарифм единицы по любому основанию равен нулю: \(\log_5 1 = 0\).

Переходим к основанию 5 во втором логарифме: \(\log_{25} 4 = \dfrac{\log_5 4}{\log_5 25} = \dfrac{\log_5 4}{2}\).

Делим первый логарифм на полученное выражение: \(\dfrac{\log_5 8}{\frac{\log_5 4}{2}} = \dfrac{2 \log_5 8}{\log_5 4}\).

Используем свойства логарифмов: \(\log_5 8 = 3 \log_5 2\) и \(\log_5 4 = 2 \log_5 2\).

Подставляем и сокращаем: \(\dfrac{2 \cdot 3 \log_5 2}{2 \log_5 2} = 3\).

Ответ: A.

Задача 228对数函数LogarithmsЛогарифмы2026年6月, № 42June 2026, № 42Июнь 2026, № 42
关于对数函数下面说法正确的是：
Which of the following statements about logarithmic functions is correct?
Какое из следующих утверждений о логарифмических функциях является верным?
Решение

При \(a>1\) функция \(\log_a t\) возрастает, поэтому из \(\log_a x > \log_a x^2\) следует \(x > x^2\) при \(x>0\).

Неравенство \(x > x^2\) равносильно \(x(1-x)>0\), откуда \(0<x<1\), вариант B верен.

Проверка A: \(\log_2 3 \approx 1{,}58\), \(\log_3 5 \approx 1{,}46\), неравенство неверно.

Проверка C: \(\log_{100} 10 = \dfrac{1}{2}\), а \(\log_{10} 1 = 0\), равенства нет.

Проверка D: при \(x=2\), \(a=2\), \(b=3\) имеем \(\log_2 2 = 1 > \log_3 2\), но \(a<b\), утверждение неверно.

Ответ: B.

Задача 262对数函数LogarithmsЛогарифмы模拟卷 CSCA Math Exam, № 28Mock: CSCA Math Exam, № 28Пробник CSCA Math Exam, № 28
计算 \(\dfrac{\log_4 27}{\log_2 3}=\)
Calculate \(\dfrac{\log_4 27}{\log_2 3}=\)
Вычислите \(\dfrac{\log_4 27}{\log_2 3}=\)
Решение

По формуле смены основания \(\log_4 27=\dfrac{\log_2 27}{\log_2 4}\).

\(\log_2 27=\log_2 3^3=3\log_2 3\), а \(\log_2 4=2\).

Тогда \(\dfrac{\log_4 27}{\log_2 3}=\dfrac{3\log_2 3}{2\log_2 3}=\dfrac{3}{2}\).

Ответ: A.

Задача 276对数函数LogarithmsЛогарифмы模拟卷 CSCA Math Exam, № 42Mock: CSCA Math Exam, № 42Пробник CSCA Math Exam, № 42
已知 \(a=\ln 3\)，\(b=\log_{0.3}2\)，\(c=\log_3 2\)，则 \(a\)，\(b\)，\(c\) 的大小关系是：
Given \(a=\ln 3\), \(b=\log_{0.3}2\), \(c=\log_3 2\), then the order of \(a\), \(b\), \(c\) is:
Дано \(a=\ln 3\), \(b=\log_{0.3}2\), \(c=\log_3 2\). Тогда порядок величин \(a\), \(b\), \(c\):
Решение

Так как \(3 > e\), то \(a = \ln 3 > \ln e = 1\).

Основание логарифма в \(b = \log_{0.3} 2\) меньше единицы, а аргумент больше единицы, поэтому \(b < 0\).

Для \(c = \log_3 2\) основание больше единицы и \(1 < 2 < 3\), значит \(0 < c < 1\).

Собираем вместе: \(b < 0 < c < 1 < a\), то есть \(b < c < a\).

Ответ: D.