CSCA · Математика

抛物线ParabolasПарабола

9 задач · текстом

Задача 32抛物线ParabolasПарабола2025年12月, № 32December 2025, № 32Декабрь 2025, № 32
关于抛物线 \(y^2 = 4x\)，下列说法正确的是：
Which of the following statements about the parabola \(y^2 = 4x\) is correct?
Какое из следующих утверждений о параболе \(y^2 = 4x\) является верным?
Решение

Уравнение \(y^2 = 4x\) имеет вид \(y^2 = 2px\), где \(2p = 4\), значит \(p = 2\).

Фокус такой параболы находится в точке \(\left(\dfrac{p}{2}, 0\right) = (1, 0)\).

Проверка A: при \(x = -4\) получаем \(y^2 = -16\), невозможно, точка не лежит на параболе.

Ось симметрии — ось \(y = 0\), а не \(x = 0\), вариант B неверен.

Фокус один, а не два, вариант C неверен.

Ответ: D.

Задача 39抛物线ParabolasПарабола2025年12月, № 39December 2025, № 39Декабрь 2025, № 39
抛物线 \(y^2 = -x\) 的准线方程为：
The equation of the directrix of the parabola \(y^2 = -x\) is:
Уравнение директрисы параболы \(y^2 = -x\):
Решение

Каноническое уравнение параболы с горизонтальной осью имеет вид \(y^2 = 2px\).

Из уравнения \(y^2 = -x\) получаем \(2p = -1\), откуда \(p = -\dfrac{1}{2}\).

Директриса такой параболы задаётся уравнением \(x = -\dfrac{p}{2}\).

Подставляем найденное значение: \(x = -\dfrac{-1/2}{2} = \dfrac{1}{4}\).

Ответ: C.

Задача 79抛物线ParabolasПарабола2026年1月, № 31January 2026, № 31Январь 2026, № 31
设抛物线 \(y^2=4x\) 的焦点为 \(F\)，点 \(P\) 在抛物线上，且点 \(P\) 的横坐标为 \(4\)，则 \(|PF|\) =
Let the focus of the parabola \(y^2=4x\) be \(F\). Suppose that a point \(P\) is on the parabola, and the horizontal coordinate of \(P\) is \(4\). Then \(|PF|\) =
Пусть фокус параболы \(y^2=4x\) — это \(F\). Точка \(P\) лежит на параболе, и абсцисса точки \(P\) равна \(4\). Тогда \(|PF|\) =
Решение

Уравнение \(y^2=4x\) имеет вид \(y^2=2px\) с \(2p=4\), значит \(p=2\) и фокус \(F(1,0)\).

Директриса параболы — прямая \(x=-1\).

По определению параболы \(|PF|\) равно расстоянию от \(P\) до директрисы.

При абсциссе \(x_P=4\) это расстояние равно \(4-(-1)=5\).

Ответ: D.

Задача 90抛物线ParabolasПарабола2026年1月, № 42January 2026, № 42Январь 2026, № 422026年3月, № 37March 2026, № 37Март 2026, № 37
抛物线 \(y^{2}=-x\) 的准线方程是：
The equation of the directrix of the parabola \(y^{2}=-x\) is:
Уравнение директрисы параболы \(y^{2}=-x\) равно:
Решение

Каноническое уравнение параболы имеет вид \(y^{2}=2px\).

Из уравнения \(y^{2}=-x\) получаем \(2p=-1\), откуда \(p=-\dfrac{1}{2}\).

Директриса параболы задаётся уравнением \(x=-\dfrac{p}{2}\).

Подставляем: \(x=-\dfrac{-1/2}{2}=\dfrac{1}{4}\).

Ответ: A.

Задача 125抛物线ParabolasПарабола2026年3月, № 32March 2026, № 32Март 2026, № 32
抛物线 \(y=-\dfrac{1}{4}x^2\) 的准线方程是
The equation of the directrix of the parabola \(y=-\dfrac{1}{4}x^2\) is
Уравнение директрисы параболы \(y=-\dfrac{1}{4}x^2\):
Решение

Перепишем уравнение: \(x^2=-4y\), это каноническое уравнение \(x^2=-2py\).

Отсюда \(2p=4\), \(p=2\), ветви направлены вниз.

Директриса параболы \(x^2=-2py\) — прямая \(y=\dfrac{p}{2}=1\).

Ответ: C.

Задача 170抛物线ParabolasПарабола2026年4月, № 32April 2026, № 32Апрель 2026, № 32
若抛物线 \(y=ax^2\) 过点 \((1,2)\)，则 \(a=\)
If the parabola \(y=ax^2\) passes through the point \((1,2)\), then \(a=\)
Если парабола \(y=ax^2\) проходит через точку \((1,2)\), то \(a=\)
Решение

Парабола проходит через точку \((1,2)\), значит координаты точки удовлетворяют уравнению.

Подставляем \(x=1\) и \(y=2\) в уравнение \(y=ax^2\): \(2=a \cdot 1^2\).

Отсюда \(a=2\).

Ответ: B.

Задача 218抛物线ParabolasПарабола2026年6月, № 32June 2026, № 32Июнь 2026, № 32
关于抛物线 \(y=\dfrac{x^2}{4}\)，下列说法正确的是：
Which of the following statements about the parabola \(y=\dfrac{x^2}{4}\) is correct?
Какое из следующих утверждений о параболе \(y=\dfrac{x^2}{4}\) верно?
Решение

Приведём уравнение параболы к каноническому виду: \(x^2 = 4y\).

Сравнивая с формулой \(x^2 = 2py\), получаем \(2p = 4\), откуда \(p = 2\).

Фокус параболы находится в точке \((0, \dfrac{p}{2}) = (0, 1)\), поэтому вариант C неверен.

Директриса задаётся уравнением \(y = -\dfrac{p}{2} = -1\).

Ось симметрии — прямая \(x = 0\), а не \(y = 0\), что исключает вариант A.

При \(x = 4\) значение \(y = \dfrac{16}{4} = 4 \neq -4\), поэтому вариант B неверен.

Ответ: D.

Задача 264抛物线ParabolasПарабола模拟卷 CSCA Math Exam, № 30Mock: CSCA Math Exam, № 30Пробник CSCA Math Exam, № 30
顶点在原点，焦点为 \(F\!\left(\tfrac{3}{2},0\right)\) 的抛物线的标准方程为：
The standard equation of the parabola with vertex at the origin and focus \(F\!\left(\tfrac{3}{2},0\right)\) is:
Каноническое уравнение параболы с вершиной в начале координат и фокусом \(F\!\left(\tfrac{3}{2},0\right)\) имеет вид:
Решение

Вершина в начале координат и фокус \(\left(\dfrac{3}{2},0\right)\) на оси \(x\), значит ветви вправо и уравнение имеет вид \(y^2=2px\).

Фокус такой параболы: \(\left(\dfrac{p}{2},0\right)\), поэтому \(\dfrac{p}{2}=\dfrac{3}{2}\), то есть \(p=3\).

Подставляем: \(y^2=2\cdot 3\,x=6x\).

Ответ: C.

Задача 275抛物线ParabolasПарабола模拟卷 CSCA Math Exam, № 41Mock: CSCA Math Exam, № 41Пробник CSCA Math Exam, № 41
抛物线的顶点在原点，准线为 \(x=\dfrac{1}{4}\)，求抛物线方程。
A parabola has its vertex at the origin and directrix \(x=\dfrac{1}{4}\). Find the equation of the parabola.
Вершина параболы находится в начале координат, а директриса задана уравнением \(x=\dfrac{1}{4}\). Найдите уравнение параболы.
Решение

Директриса параболы с вершиной в начале координат имеет вид \(x=-\dfrac{p}{2}\) для уравнения \(y^2=2px\).

По условию директриса \(x=\dfrac{1}{4}\), следовательно \(-\dfrac{p}{2}=\dfrac{1}{4}\), откуда \(p=-\dfrac{1}{2}\).

Подставляем в каноническое уравнение: \(y^2=2\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)x=-x\).

Ответ: B.