Функция нечётная, если \(f(-x) = -f(x)\) для всех \(x\) из области определения.
Для \(y = x + x^3\) получаем \(f(-x) = -x + (-x)^3 = -x - x^3 = -(x + x^3) = -f(x)\), значит функция нечётная.
Вариант A: \((-x)\sin(-x) = x\sin x\) — чётная.
Варианты B и C также чётные, так как \((-x)^4 = x^4\) и \(\cos(-x) = \cos x\).
Ответ: D.
\(y=\left(\dfrac{1}{3}\right)^x\) убывает, так как основание меньше \(1\).
\(y=\log_{0.5}x\) убывает, так как основание логарифма меньше \(1\).
\(y=\sin x\) не монотонна на всей прямой.
\(y=2x+1\) — линейная функция с угловым коэффициентом \(2>0\), она возрастает.
Ответ: C.
Проверяем чётность: \(f(-x)=(-x)^4+3=x^4+3=f(x)\).
Равенство \(f(-x)=f(x)\) выполнено для всех \(x\), значит функция чётная.
Ответ: D.
При \(x>0\) имеем \(y=|x|=x\), это возрастающая прямая.
При \(x<0\) имеем \(y=-x\), функция убывает.
На всей прямой \(\mathbb{R}\) функция не монотонна, поэтому C и D неверны.
Верное утверждение: при \(x>0\) функция возрастает.
Ответ: B.
Область определения: \(x^{2}>0\), то есть \(x\neq0\), она симметрична относительно нуля.
\(f(-x)=\ln((-x)^{2})=\ln(x^{2})=f(x)\).
Значит, функция чётная.
Ответ: D.
Нечётная функция должна удовлетворять условию \(f(-x) = -f(x)\) и иметь симметричную относительно нуля область определения.
Для \(y = -x\) получаем \(f(-x) = -(-x) = x = -f(x)\), условие выполнено.
Функция \(y = \sqrt{3x+2}\) имеет область определения \(x \geq -\dfrac{2}{3}\), не симметричную относительно нуля.
Функции \(y = x^2+3\) и \(y = x^3+1\) являются чётной и ни чётной ни нечётной соответственно, так как \(f(-x) \neq -f(x)\).
Ответ: D.
\(y=-x+5\): коэффициент \(-1<0\), функция убывает на всей прямой
\(y=x^3\) возрастает на \((-\infty,+\infty)\)
\(y=x^2+1\) убывает при \(x<0\) и возрастает при \(x>0\)
\(y=\dfrac{-1}{x}\) не определена в нуле и возрастает на каждом из промежутков \((-\infty,0)\) и \((0,+\infty)\)
Ответ: A.
Нечетная функция по определению удовлетворяет условию \(f(-x) = -f(x)\) для всех \(x\) из области определения.
Область определения нечетной функции обязательно симметрична относительно начала координат.
График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Утверждение \(f(-x) = f(x)\) является определением четной функции, а не нечетной, поэтому оно неверно.
Ответ: B.
Чётная функция удовлетворяет \(f(-x)=f(x)\) при симметричной области определения.
В варианте A \(f(-x)=2x^2+\cos(-x)=2x^2+\cos x=f(x)\), функция чётная.
В B слагаемое \(x\) меняет знак, в D слагаемое \(-\sin x\) меняет знак, функции не чётные.
В C область определения \(x\geq 0\) не симметрична относительно нуля.
Ответ: A.
Функции \(y=3x\), \(y=x^2\) и \(y=x^3\) возрастают на \((0,+\infty)\).
Для \(y=\dfrac{1}{x}\): если \(0<x_1<x_2\), то \(\dfrac{1}{x_1}>\dfrac{1}{x_2}\).
Значит, функция убывает на \((0,+\infty)\).
Ответ: D.
Функция \(f(x)\) нечётная, значит \(f(-1)=-f(1)\).
При \(x>0\) задано \(f(x)=x^2+x+1\), так как \(b=1\).
Находим \(f(1)=1^2+1+1=3\).
Тогда \(f(-1)=-3\).
Ответ: C.