CSCA · Математика

圆CirclesОкружность

13 задач · текстом

Задача 18圆CirclesОкружность2025年12月, № 18December 2025, № 18Декабрь 2025, № 18
若圆的圆心坐标是 \((-3, 2)\)，半径是 \(4\)，则圆的方程是
If the center of the circle is \((-3, 2)\) and the radius is \(4\), then the equation of the circle is
Если центр окружности имеет координаты \((-3, 2)\), а радиус равен \(4\), то уравнение окружности
Решение

Каноническое уравнение окружности с центром \((a, b)\) и радиусом \(r\): \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\).

Подставляем центр \((-3, 2)\): получаем \((x-(-3))^2+(y-2)^2=(x+3)^2+(y-2)^2\).

Радиус \(4\) возводим в квадрат: \(r^2=16\).

Итоговое уравнение: \((x+3)^2+(y-2)^2=16\), это вариант D.

Ответ: D.

Задача 21圆CirclesОкружность2025年12月, № 21December 2025, № 21Декабрь 2025, № 21
设圆的方程为 \(x^2 + y^2 + 2x - 2y = 0\) ，则该圆的半径为：
Given the equation of the circle is \(x^2 + y^2 + 2x - 2y = 0\), then the radius of the circle is:
Если уравнение окружности \(x^2 + y^2 + 2x - 2y = 0\), то радиус окружности равен:
Решение

Дополняем до полных квадратов: \(x^2 + 2x = (x + 1)^2 - 1\) и \(y^2 - 2y = (y - 1)^2 - 1\).

Уравнение принимает вид \((x + 1)^2 + (y - 1)^2 - 2 = 0\), то есть \((x + 1)^2 + (y - 1)^2 = 2\).

Правая часть равна \(r^2 = 2\), значит \(r = \sqrt{2}\).

Ответ: C.

Задача 67圆CirclesОкружность2026年1月, № 19January 2026, № 19Январь 2026, № 19
如果一个圆的方程是 \(x^2 + y^2 - 4x - 3 = 0\)，则其圆心和半径分别为：
If the equation of a circle is \(x^2 + y^2 - 4x - 3 = 0\), then its center and radius are:
Если уравнение окружности имеет вид \(x^2 + y^2 - 4x - 3 = 0\), то её центр и радиус равны соответственно:
Решение

Выделяем полный квадрат: \(x^2-4x=(x-2)^2-4\).

Уравнение принимает вид \((x-2)^2+y^2=7\).

Центр окружности \((2,0)\), радиус \(\sqrt{7}\).

Ответ: C.

Задача 76圆CirclesОкружность2026年1月, № 28January 2026, № 28Январь 2026, № 28
一个圆的圆心在 \((-3,2)\)，半径为 \(4\)。那么该圆的方程是：
A circle has center at \((-3,2)\) and radius \(4\). Then the equation of the circle is:
Окружность имеет центр в точке \((-3,2)\) и радиус \(4\). Тогда уравнение окружности:
Решение

Каноническое уравнение окружности с центром \((a, b)\) и радиусом \(r\) имеет вид \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\).

Подставляем координаты центра \((-3, 2)\) и радиус \(r = 4\).

Получаем \((x - (-3))^2 + (y - 2)^2 = 4^2\).

Упрощаем выражение: \((x+3)^2+(y-2)^2=16\).

Ответ: D.

Задача 114圆CirclesОкружность2026年3月, № 20March 2026, № 20Март 2026, № 20
圆心在 A(-3, 2), 半径为3的圆的方程是：
A circle centered at A(-3, 2), with a radius 3 has equation:
Уравнение круга с центром A(-3, 2) и радиусом 3:
Решение

Уравнение окружности с центром \((a, b)\) и радиусом \(r\): \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\).

Подставляем центр \(A(-3, 2)\): \(a = -3\), \(b = 2\), получаем \((x + 3)^2 + (y - 2)^2\).

Радиус \(r = 3\), поэтому правая часть равна \(r^2 = 9\).

Итоговое уравнение: \((x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 9\).

Ответ: B.

Задача 118圆CirclesОкружность2026年3月, № 24March 2026, № 24Март 2026, № 24
圆心为(-3,2),半径为2的圆的方程是？
Which of the following is the equation of a circle with center (-3,2) and radius 2?
Уравнение круга с центром (-3,2) и радиусом 2?
Решение

Уравнение окружности с центром \((a, b)\) и радиусом \(r\): \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\).

Подставляем центр \((-3, 2)\): получаем \((x + 3)^2 + (y - 2)^2\).

Радиус \(r = 2\), поэтому правая часть равна \(r^2 = 4\).

Итоговое уравнение: \((x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 4\).

Ответ: B.

Задача 158圆CirclesОкружность2026年4月, № 20April 2026, № 20Апрель 2026, № 20
圆心为 \((-1,2)\)，半径为 3 的圆的方程为：
Suppose that a circle has radius 3 and center at \((-1,2)\). Then the equation of the circle is:
Окружность имеет радиус 3 и центр в точке \((-1,2)\). Тогда уравнение окружности:
Решение

Каноническое уравнение окружности с центром \((-1,2)\) и радиусом \(3\) имеет вид \((x+1)^2+(y-2)^2=9\).

Раскрываем скобки: \(x^2+2x+1+y^2-4y+4=9\).

Переносим все в левую часть: \(x^2+y^2+2x-4y+5-9=0\).

Получаем \(x^2+y^2+2x-4y-4=0\).

Ответ: D.

Задача 161圆CirclesОкружность2026年4月, № 23April 2026, № 23Апрель 2026, № 23
过点 \(A(2, 2)\)，圆心在 \((2, 0)\) 的圆的方程为：
If a circle passes through point \(A(2, 2)\) and has center at \((2, 0)\), then the equation of the circle is:
Если окружность проходит через точку \(A(2, 2)\) и имеет центр в точке \((2, 0)\), то уравнение окружности имеет вид:
Решение

Центр окружности \((2, 0)\), значит уравнение имеет вид \((x - 2)^2 + y^2 = r^2\).

Радиус — расстояние от центра до точки \(A(2, 2)\): \(r = \sqrt{(2-2)^2 + (2-0)^2} = 2\).

Тогда \(r^2 = 4\), уравнение: \((x - 2)^2 + y^2 = 4\).

Ответ: B.

Задача 205圆CirclesОкружность2026年6月, № 19June 2026, № 19Июнь 2026, № 19
圆心为 \((2, 5)\)，半径为 \(5\) 的圆的方程是：
The equation of the circle centered at \((2, 5)\) with radius \(5\) is:
Уравнение окружности с центром в точке \((2, 5)\) и радиусом \(5\):
Решение

Каноническое уравнение окружности с центром \((h, k)\) и радиусом \(r\): \((x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2\).

Центр задан как \((2, 5)\), значит \(h = 2\), \(k = 5\).

Радиус \(r = 5\), поэтому правая часть равна \(r^2 = 25\).

Получаем уравнение \((x-2)^2 + (y-5)^2 = 25\).

Ответ: B.

Задача 213圆CirclesОкружность2026年6月, № 27June 2026, № 27Июнь 2026, № 27
若圆经过点 \(A(2,2)\)，且圆心为 \((2,0)\)，则该圆的方程为：
If a circle passes through point \(A(2,2)\) and has center \((2,0)\), then the equation of the circle is:
Если окружность проходит через точку \(A(2,2)\) и имеет центр \((2,0)\), то уравнение окружности имеет вид:
Решение

Центр окружности находится в точке \((2, 0)\), поэтому её уравнение имеет вид \((x-2)^2 + y^2 = R^2\).

Окружность проходит через точку \(A(2, 2)\), подставляем координаты для нахождения радиуса.

Вычисляем квадрат радиуса: \(R^2 = (2-2)^2 + (2-0)^2 = 0 + 4 = 4\).

Записываем итоговое уравнение окружности: \((x-2)^2 + y^2 = 4\).

Ответ: C.

Задача 253圆CirclesОкружность模拟卷 CSCA Math Exam, № 19Mock: CSCA Math Exam, № 19Пробник CSCA Math Exam, № 19
若圆过点 \(A(2,2)\)，圆心为 \((2,0)\)，则该圆的方程为
If a circle passes through \(A(2,2)\) with center \((2,0)\), its equation is
Если окружность проходит через точку \(A(2,2)\) и имеет центр \((2,0)\), то её уравнение
Решение

Центр окружности находится в точке \((2, 0)\), поэтому уравнение имеет вид \((x-2)^2 + y^2 = R^2\).

Радиус равен расстоянию от центра до точки \(A(2, 2)\): \(R = \sqrt{(2-2)^2 + (2-0)^2} = 2\).

Квадрат радиуса \(R^2 = 4\).

Уравнение окружности: \((x-2)^2 + y^2 = 4\).

Ответ: D.

Задача 267圆CirclesОкружность模拟卷 CSCA Math Exam, № 33Mock: CSCA Math Exam, № 33Пробник CSCA Math Exam, № 33
若圆的圆心坐标是\((-3,2)\)，半径是4，则圆的方程是：
If a circle has center \((-3,2)\) and radius 4, its equation is:
Если центр окружности находится в точке \((-3,2)\), а радиус равен 4, то уравнение окружности имеет вид:
Решение

Каноническое уравнение окружности с центром \((a,b)\) и радиусом \(r\) имеет вид \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\).

Подставляем центр \((-3,2)\) и радиус \(4\): \((x-(-3))^2+(y-2)^2=4^2\).

Получаем \((x+3)^2+(y-2)^2=16\).

Варианты A и B имеют неверные знаки при координатах центра.

Вариант C содержит \(4\) вместо \(16\) в правой части.

Ответ: D.

Задача 327圆CirclesОкружность模拟卷 Crossline, № 45Mock: Crossline, № 45Пробник Crossline, № 45
关于奇数哥德巴赫猜想：任何大于 \(5\) 的奇数都可以表示为三个素数之和。如果从 \(1\) 到 \(10\) 中任选两个不同的素数构成点 \(A(a,b)\) 和 \(B(c,d)\)，其中 \(a+b=10\)，\(c+d=10\)，且所有这些点都在圆 \(C\) 上，则圆 \(C\) 的标准方程是：
Regarding the odd-numbered Goldbach conjecture: any odd number greater than \(5\) is the sum of three prime numbers. If distinct prime numbers are selected from \(1\) to \(10\) to form points \(A(a,b)\) and \(B(c,d)\), where \(a+b=10\), \(c+d=10\), and all points lie on the circle \(C\), then the standard equation of circle \(C\) is:
Относительно гипотезы Гольдбаха для нечётных чисел: любое нечётное число, большее \(5\), является суммой трёх простых чисел. Если из чисел от \(1\) до \(10\) выбрать различные простые числа для образования точек \(A(a,b)\) и \(B(c,d)\), где \(a+b=10\), \(c+d=10\), и все эти точки лежат на окружности \(C\), то каноническое уравнение окружности \(C\) имеет вид:
Решение

Простые числа от 1 до 10: \(2,3,5,7\); различные простые с суммой 10 — это \(3\) и \(7\), поэтому точки \(A(3,7)\) и \(B(7,3)\).

Проверяем варианты: для центра \((5,5)\) получаем \((3-5)^2+(7-5)^2=8\), для варианта C \(3^2+7^2=58\ne 50\).

Обе точки лежат только на окружности \((x-5)^2+(y-5)^2=8\).

Ответ: D.