CSCA · Математика

集合SetsМножества

16 задач · текстом

Задача 1集合SetsМножества2025年12月, № 1December 2025, № 1Декабрь 2025, № 1
若集合 \(A=\{1,2\}\)，\(B=\{1,2,3\}\)，则以下哪个是正确的？
If the sets \(A=\{1,2\}\) and \(B=\{1,2,3\}\), which of the following is true?
Если множества \(A=\{1,2\}\) и \(B=\{1,2,3\}\), то какое из следующих утверждений верно?
Решение

Множество \(A=\{1,2\}\) содержит элементы 1 и 2.

Множество \(B=\{1,2,3\}\) содержит элементы 1, 2 и 3.

Каждый элемент множества \(A\) принадлежит множеству \(B\), поэтому \(A \subseteq B\).

Вариант A неверен, так как 3 не входит в \(A\).

Вариант B неверен, так как множества содержат разное число элементов.

Вариант D противоречит установленному включению.

Ответ: C.

Задача 2集合SetsМножества2025年12月, № 2December 2025, № 2Декабрь 2025, № 2
若集合 \(A=(-1,3)\)，\(B=[2,4]\)，则 \(A\cap B\) 等于多少？
If the sets \(A=(-1,3)\) and \(B=[2,4]\), what is \(A\cap B\)?
Если множества \(A=(-1,3)\) и \(B=[2,4]\), то чему равно \(A\cap B\)?
Решение

Множество \(A=(-1,3)\) содержит числа от \(-1\) до \(3\), не включая обе границы.

Множество \(B=[2,4]\) содержит числа от \(2\) до \(4\), включая обе границы.

Пересечение состоит из чисел, принадлежащих обоим промежуткам, то есть от \(2\) до \(3\).

Точка \(2\) входит в оба множества, поэтому левая граница включается.

Точка \(3\) не входит в \(A\), поэтому правая граница не включается.

Получаем промежуток \([2,3)\).

Ответ: B.

Задача 49集合SetsМножества2026年1月, № 1January 2026, № 1Январь 2026, № 1
设 \(A=\{6,7,8,9,10\}\) 是一个集合，\(\emptyset\) 表示空集。那么下列哪个陈述是正确的？
Let \(A=\{6,7,8,9,10\}\) be a set, and \(\emptyset\) denote the empty set. Then which of the following statements is correct?
Пусть \(A=\{6,7,8,9,10\}\) — множество, а \(\emptyset\) обозначает пустое множество. Какое из следующих утверждений верно?
Решение

Множество \(A = \{6, 7, 8, 9, 10\}\) содержит элемент 9, поэтому запись \(9 \in A\) верна.

Запись \(\{6\} \in A\) неверна, так как \(\{6\}\) является подмножеством, а не элементом множества \(A\).

Запись \(6 \subseteq A\) неверна, поскольку символ подмножества применяется к множествам, а 6 — это элемент.

Пустое множество \(\emptyset\) является подмножеством любого множества, но не элементом \(A\), поэтому \(\emptyset \in A\) неверно.

Ответ: A.

Задача 50集合SetsМножества2026年1月, № 2January 2026, № 2Январь 2026, № 2
设 \(A=\{x\mid -2\le x\le 2\}\) 和 \(B=\{x\mid x>0\}\) 是两个集合。那么 \(A\cup B\)=
Let \(A=\{x\mid -2 \le x \le 2\}\) and \(B=\{x\mid x > 0\}\) be two sets. Then \(A \cup B\) =
Пусть \(A=\{x\mid -2\le x\le 2\}\) и \(B=\{x\mid x>0\}\) — два множества. Тогда \(A\cup B\)=
Решение

\(A\) — отрезок \([-2;2]\), \(B\) — луч \(x>0\).

Объединение покрывает все \(x\) от \(-2\) и дальше: и отрезок, и луч.

Значит \(A\cup B=\{x\mid x\ge -2\}\).

Вариант B — только пересечение, A и D — части отрезка.

Ответ: C.

Задача 97集合SetsМножества2026年3月, № 1March 2026, № 1Март 2026, № 1
设集合 \(A = \{x \mid -2 < x \le 3\}\)。下列说法正确的是：
Let \(A = \{x \mid -2 < x \le 3\}\) be a set. Which of the following statements is correct?
Пусть дано множество \(A = \{x \mid -2 < x \le 3\}\). Какое из следующих утверждений является верным?
Решение

Множество \(A = (-2, 3]\): левый конец не входит, правый входит.

\(-3 < -2\), значит \(-3 \notin A\), A неверно.

\(3\) входит, так как неравенство справа нестрогое, \(3 \in A\).

\(-2\) не входит, так как неравенство слева строгое, C неверно.

\(2 \in A\), так как \(-2 < 2 \le 3\), D неверно.

Ответ: B.

Задача 98集合SetsМножества2026年3月, № 2March 2026, № 2Март 2026, № 2
设集合 \(M = \{x \mid -5 \le x < 2\}\)，\(N = \{x \mid -4 \le x \le 2\}\)。则 \(M \cap N =\)
Let \(M = \{x \mid -5 \le x < 2\}\) and \(N = \{x \mid -4 \le x \le 2\}\) be two sets. Then \(M \cap N =\)
Пусть даны множества \(M = \{x \mid -5 \le x < 2\}\) и \(N = \{x \mid -4 \le x \le 2\}\). Тогда \(M \cap N =\)
Решение

\(M = [-5, 2)\), \(N = [-4, 2]\).

Пересечение берёт общую часть: левая граница \(\max(-5, -4) = -4\), входит.

Правая граница \(\min\) по значению равна \(2\), но в \(M\) точка \(2\) не входит.

Значит \(M \cap N = [-4, 2)\).

Ответ: A.

Задача 140集合SetsМножества2026年4月, № 1April 2026, № 1Апрель 2026, № 1
设 \(A=\{1,3,4,6,7\}\)，\(B=\{1,3,4\}\) 为两个集合，下列说法正确的是：
Let \(A=\{1,3,4,6,7\}\), \(B=\{1,3,4\}\) be two sets. Which of the following statements is correct?
Пусть \(A=\{1,3,4,6,7\}\), \(B=\{1,3,4\}\) — два множества. Какое из следующих утверждений верно?
Решение

Множество \(B\) состоит из элементов \(1,3,4\), и все они входят в \(A\).

Значит, \(B\subseteq A\).

Вариант A неверен: \(A\) не является элементом \(B\).

Вариант B неверен: например, \(6\in A\), но \(6\notin B\).

Вариант C неверен: \(B\) не является элементом \(A\).

Ответ: D.

Задача 141集合SetsМножества2026年4月, № 2April 2026, № 2Апрель 2026, № 2
设 \(A=\{x\mid 3<x<5\}\)，\(B=\{x\mid x>4\}\)，则 \(A\cap B\) =
Let \(A=\{x\mid 3<x<5\}\), \(B=\{x\mid x>4\}\). Then \(A\cap B\) =
Пусть \(A=\{x\mid 3<x<5\}\), \(B=\{x\mid x>4\}\). Тогда \(A\cap B\) =
Решение

Пересечение состоит из чисел, удовлетворяющих обоим условиям.

Нужно одновременно \(3<x<5\) и \(x>4\).

Более сильное нижнее условие: \(x>4\), верхнее остаётся \(x<5\).

Получаем \(A\cap B=\{x\mid 4<x<5\}\).

Ответ: C.

Задача 187集合SetsМножества2026年6月, № 1June 2026, № 1Июнь 2026, № 1
若集合 \(A=\{x \mid x^2=1\}\)，则下列表示正确的是：
If the set \(A=\{x \mid x^2=1\}\), then which of the following representations is correct?
Если множество \(A=\{x \mid x^2=1\}\), то какое из следующих представлений верно?
Решение

Решим уравнение \(x^2=1\), получим \(x=1\) или \(x=-1\), значит \(A=\{-1, 1\}\).

Вариант A неверен, так как множество не может быть равно числу.

Вариант C неверен, так как знак \(\subseteq\) применяется к множествам, а не к элементам.

Вариант D неверен, так как в множестве \(A\) два элемента, а не один.

Множество \(\{1\}\) является подмножеством \(A\), поэтому вариант B верен.

Ответ: B.

Задача 188集合SetsМножества2026年6月, № 2June 2026, № 2Июнь 2026, № 2
若集合 \(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,\ldots,2026\}\)，则 \(A \cap B=\)
If the sets \(A=\{1,2,3\}\) and \(B=\{2,3,\ldots,2026\}\), then \(A \cap B=\)
Если множества \(A=\{1,2,3\}\) и \(B=\{2,3,\ldots,2026\}\), то \(A \cap B=\)
Решение

Множество \(A\) содержит элементы 1, 2 и 3.

Множество \(B\) содержит все целые числа от 2 до 2026 включительно.

Пересечение \(A \cap B\) состоит из элементов, принадлежащих обоим множествам.

Элемент 1 не входит в \(B\), а элементы 2 и 3 входят в оба множества.

Следовательно, \(A \cap B = \{2, 3\}\).

Ответ: A.

Задача 235集合SetsМножества模拟卷 CSCA Math Exam, № 1Mock: CSCA Math Exam, № 1Пробник CSCA Math Exam, № 1
下列说法正确的是：
Which of the following statements is correct?
Какое из следующих утверждений верно?
Решение

\(\mathbb{N}\) — множество натуральных чисел, \(-2\) не натуральное, A неверно.

\(\mathbb{Q}\) — множество рациональных чисел, \(\pi\) иррационально, B неверно.

\(\mathbb{Z}\) — множество целых чисел, \(\dfrac{3}{2}\) не целое, C неверно.

\(\sqrt{3}\) — действительное число, поэтому \(\sqrt{3} \in \mathbb{R}\), D верно.

Ответ: D.

Задача 236集合SetsМножества模拟卷 CSCA Math Exam, № 2Mock: CSCA Math Exam, № 2Пробник CSCA Math Exam, № 2
若集合 \(A = \{1, 2, 3, 4\}\)，\(B = \{3, 4, 5, 6\}\)，则下列运算正确的是：
If sets \(A = \{1, 2, 3, 4\}\), \(B = \{3, 4, 5, 6\}\), which operation is correct?
Если множества \(A = \{1, 2, 3, 4\}\), \(B = \{3, 4, 5, 6\}\), то какая из следующих операций верна?
Решение

Объединение содержит все элементы обоих множеств без повторов: \(A \cup B = \{1,2,3,4,5,6\}\).

Пересечение содержит только общие элементы: \(A \cap B = \{3,4\}\).

Варианты A, B, C противоречат этим результатам, верен только D.

Ответ: D.

Задача 283集合SetsМножества模拟卷 Crossline, № 1Mock: Crossline, № 1Пробник Crossline, № 1
下列各项中，能组成集合的是：
Which of the following objects can form a set?
Какой из следующих объектов может образовывать множество?
Решение

Множество должно иметь чёткий критерий принадлежности элементов.

Варианты A, C и D содержат неопределённые слова «очень близко», «относительно хорошее», «высоко талантливые», которые не задают точного условия.

Вариант B однозначно определяет конечный список конкретных учеников определённой школы, класса и семестра.

Ответ: B.

Задача 284集合SetsМножества模拟卷 Crossline, № 2Mock: Crossline, № 2Пробник Crossline, № 2
设 \(A\) 是一个集合，则下列结论正确的是：
Let \(A\) denote a set. Then which of the following is correct?
Пусть \(A\) — множество. Тогда какое из следующих утверждений верно?

Ошибка в источнике: варианты C и D одинаковые.

Решение

Пустое множество является подмножеством любого множества по определению.

Запись \(\emptyset \subseteq A\) верна для произвольного множества \(A\).

Вариант A неверен, так как пустое множество не обязано быть элементом \(A\).

Варианты C и D неверны, так как пустое множество не может содержать непустое множество.

Ответ: B.

Задача 302集合SetsМножества模拟卷 Crossline, № 20Mock: Crossline, № 20Пробник Crossline, № 20
已知集合 \(A=\{x\mid x^2-x-2\le 0\}\) 和 \(B=\{x\mid x>0\}\)，则集合 \(A\cup B\) 为：
Given the sets \(A=\{x\mid x^2-x-2\le 0\}\) and \(B=\{x\mid x>0\}\), the set \(A\cup B\) is:
Даны множества \(A=\{x\mid x^2-x-2\le 0\}\) и \(B=\{x\mid x>0\}\). Тогда множество \(A\cup B\) равно:
Решение

Решаем неравенство \(x^2-x-2\le 0\): корни \(x=-1\) и \(x=2\), значит \(A=[-1,\ 2]\).

Множество \(B=(0,\ +\infty)\).

Объединение \(A\cup B=[-1,\ +\infty)\): все числа от \(-1\) включительно и дальше покрываются либо \(A\), либо \(B\).

Ответ: C.

Задача 317集合SetsМножества模拟卷 Crossline, № 35Mock: Crossline, № 35Пробник Crossline, № 35
已知集合 \(A = \{x \mid x^2 - 3x + 2 \leq 0\}\)，\(B = \{x \mid 2^{1-x} + 1 \leq 3\}\)，则 \(A \cap B =\)：
Given the sets \(A = \{x \mid x^2 - 3x + 2 \leq 0\}\) and \(B = \{x \mid 2^{1-x} + 1 \leq 3\}\), then \(A \cap B =\):
Даны множества \(A = \{x \mid x^2 - 3x + 2 \leq 0\}\) и \(B = \{x \mid 2^{1-x} + 1 \leq 3\}\). Тогда \(A \cap B =\):
Решение

Решаем неравенство для множества \(A\): \(x^2 - 3x + 2 \leq 0\), корни 1 и 2, значит \(A = [1, 2]\).

Решаем неравенство для множества \(B\): \(2^{1-x} + 1 \leq 3\), откуда \(2^{1-x} \leq 2\).

Так как основание степени больше 1, получаем \(1 - x \leq 1\), то есть \(x \geq 0\), значит \(B = [0, +\infty)\).

Пересечение множеств: \(A \cap B = [1, 2] \cap [0, +\infty) = [1, 2]\).

Ответ: A.