Выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным: \(x+1 \geq 0\).
Корень стоит в знаменателе дроби, поэтому он не может равняться нулю: \(\sqrt{x+1} \neq 0\).
Объединяя условия, получаем строгое неравенство \(x+1>0\).
Отсюда \(x>-1\).
Область определения функции есть промежуток \((-1,+\infty)\).
Ответ: B.
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \(x-1\ge 0\).
Отсюда \(x\ge 1\), то есть \(x\in[1,+\infty)\).
При \(x=1\) корень определён, поэтому скобка квадратная; варианты B, C, D не подходят.
Ответ: A.
Две функции тождественны, если совпадают их области определения и правила вычисления значений.
Функция \(y = |x|\) определена при всех действительных \(x\) и принимает неотрицательные значения.
Вариант A: \(y = \sqrt[3]{x^3} = x\), что не равно \(|x|\) при отрицательных \(x\).
Вариант B: \(y = (\sqrt{x})^2 = x\) определена только при \(x \geq 0\), область определения уже.
Вариант C: \(y = x\) принимает отрицательные значения, не совпадает с \(|x|\).
Вариант D: \(y = \sqrt{x^2} = |x|\), область определения — все действительные числа, правило совпадает.
Ответ: D.
Для дроби \( \dfrac{1}{x} \) требуется \( x \neq 0 \).\nДля корня \( \sqrt{1-x} \) требуется \( 1-x \ge 0 \), то есть \( x \le 1 \).\nОбъединяя условия: \( x \le 1 \) и \( x \neq 0 \).\nОбласть определения: \( (-\infty, 0) \cup (0, 1] \).\nОтвет: C.
Ошибка в источнике: варианты C и D восстановлены неточно: это не пары функций, а равенство D само по себе тоже верно.
Две функции совпадают, если у них одинаковые области определения и одинаковое правило соответствия.
В варианте A область определения первой функции \(x \geq 0\), а второй — все действительные числа, поэтому они не совпадают.
В варианте B дробь \(\dfrac{x^4-1}{x^2+1}\) определена при всех \(x\), так как знаменатель \(x^2+1 > 0\) всегда.
Числитель раскладывается как разность квадратов: \(x^4-1 = (x^2-1)(x^2+1)\).
После сокращения на \(x^2+1\) получаем \(y = x^2-1\) с той же областью определения, значит функции совпадают.
Варианты C и D являются тригонометрическими тождествами, а не парами функций.
Ответ: B.
Область определения задаётся условием: знаменатель не равен нулю.
\(1 - x \neq 0\), значит \(x \neq 1\).
Область определения: \((-\infty, 1) \cup (1, +\infty)\).
Ответ: D.
Для любого действительного \(x\) модуль \(|x|\geqslant 0\), поэтому знаменатель \(1+|x|\geqslant 1\).
Дробь \(\dfrac{1}{1+|x|}\) принимает наибольшее значение \(1\) при \(x=0\).
При \(|x|\to\infty\) знаменатель неограниченно растёт, а значение функции стремится к нулю, но никогда его не достигает.
Значит, множество значений функции — полуинтервал \((0,1]\).
Ответ: A.
Функция задана кубическим корнем \(f(x) = \sqrt[3]{3x+1}\).
Кубический корень извлекается из любого действительного числа, в отличие от квадратного.
Выражение под корнем \(3x+1\) определено при всех действительных значениях \(x\).
Область определения функции — вся числовая прямая \((-\infty, +\infty)\).
Ответ: B.
Область определения функции \(f(x)\) есть \((-1, 0)\), поэтому аргумент функции \(f(x^2 - 1)\) должен удовлетворять неравенству \(-1 < x^2 - 1 < 0\).
Прибавляем 1 ко всем частям: \(0 < x^2 < 1\).
Неравенство \(x^2 > 0\) означает, что \(x \neq 0\).
Неравенство \(x^2 < 1\) даёт \(-1 < x < 1\).
Пересечение условий: \(x \in (-1, 0) \cup (0, 1)\).
Ответ: C.
Для логарифма требуется \(|x-5|>0\), то есть \(x \ne 5\).
Знаменатель не должен обращаться в нуль: \(\lg|x-5| \ne 0\), значит \(|x-5| \ne 1\).
Отсюда \(x-5 \ne \pm 1\), то есть \(x \ne 4\) и \(x \ne 6\).
Область определения: все действительные числа, кроме \(4\), \(5\), \(6\).
Ответ: A.
Функция определена при условии, что знаменатели всех дробей не равны нулю.
Из первого слагаемого получаем ограничение \(x-1 \neq 0\), то есть \(x \neq 1\).
Из второго слагаемого \(x-2 \neq 0\), то есть \(x \neq 2\).
Из третьего слагаемого \(x-3 \neq 0\), то есть \(x \neq 3\).
Область определения — вся числовая прямая кроме точек 1, 2 и 3, что соответствует объединению интервалов \((-\infty,1) \cup (1,2) \cup (2,3) \cup (3,+\infty)\).
Ответ: A.
Область определения функции задаётся системой ограничений для каждого её элемента.
Выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным: \(x + 3 \geq 0\), откуда \(x \geq -3\).
Знаменатель дроби не может равняться нулю: \(x - 2 \neq 0\), то есть \(x \neq 2\).
Аргумент логарифма должен быть строго положительным: \(x > 0\).
Пересечение условий \(x \geq -3\) и \(x > 0\) даёт \(x > 0\).
Исключая точку \(x = 2\), получаем область определения \((0, 2) \cup (2, +\infty)\).
Ответ: C.
Логарифм \(\ln x\) определён при \(x>0\).
Корень \(\sqrt{1-x}\) определён при \(1-x \geq 0\), то есть \(x \leq 1\).
Пересечение условий: \(0 < x \leq 1\).
Ответ: A.
Две функции тождественно равны, если совпадают их области определения и правила вычисления значений.
В варианте A область определения первой функции все \(x\neq 0\), а второй только \(x>0\).
В варианте B обе функции определены на всей числовой прямой, и по свойству модуля \(|x-1|=\sqrt{(x-1)^2}\) для любого \(x\).
В варианте C вторая функция не определена при \(x=\pm 1\), а первая определена везде.
В варианте D области определения различаются: первая требует \(x(x-1)>0\), вторая \(x>0\) и \(x-1>0\).
Ответ: B.
Чтобы найти \(f(3)\), нужно подобрать \(x\) так, чтобы \(x+1=3\), откуда \(x=2\).
Подставляем \(x=2\) в выражение \(f(x+1)=x^2+4x+3\).
Получаем \(f(3)=2^2+4\cdot 2+3=4+8+3=15\).
Ответ: A.