CSCA · Математика

任意角与诱导公式Angles, values and reduction formulasУглы, значения и формулы приведения

22 задачи · текстом

Задача 7任意角与诱导公式Angles, values and reduction formulasУглы, значения и формулы приведения2025年12月, № 7December 2025, № 7Декабрь 2025, № 7
计算 \((\sin(\dfrac{\pi}{4}) + \cos(\dfrac{\pi}{4})) \times \tan(\dfrac{\pi}{4}) =\)
Compute \((\sin(\dfrac{\pi}{4}) + \cos(\dfrac{\pi}{4})) \times \tan(\dfrac{\pi}{4}) =\)
Вычислите \((\sin(\dfrac{\pi}{4}) + \cos(\dfrac{\pi}{4})) \times \tan(\dfrac{\pi}{4}) =\)
Решение

Значения тригонометрических функций: \(\sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\), \(\cos\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\), \(\tan\dfrac{\pi}{4} = 1\).

Сумма синуса и косинуса: \(\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\).

Умножаем на тангенс: \(\sqrt{2} \times 1 = \sqrt{2}\).

Ответ: C.

Задача 16任意角与诱导公式Angles, values and reduction formulasУглы, значения и формулы приведения2025年12月, № 16December 2025, № 16Декабрь 2025, № 16
若点 \(P(1, y)\) 是角 \(\alpha\) 终边上的点，且 \(\tan\alpha = 2\)，则 \(y =\)
If point \(P(1, y)\) is on the terminal side of angle \(\alpha\), and \(\tan\alpha = 2\), then \(y =\)
Если точка \(P(1, y)\) лежит на стороне угла \(\alpha\), и \(\tan\alpha = 2\), то \(y =\)
Решение

Точка \(P(1,y)\) лежит на конечной стороне угла \(\alpha\).

По определению \(\tan\alpha=\dfrac{y}{x}=\dfrac{y}{1}=y\).

Так как \(\tan\alpha=2\), получаем \(y=2\).

Ответ: D.

Задача 19任意角与诱导公式Angles, values and reduction formulasУглы, значения и формулы приведения2025年12月, № 19December 2025, № 19Декабрь 2025, № 19
已知 \(\sin\alpha = \dfrac{3}{5}\)，且 \(\alpha\) 是第二象限角，则 \(\cos\alpha =\)
Given that \(\sin\alpha = \dfrac{3}{5}\), and \(\alpha\) is in the second quadrant, then \(\cos\alpha =\)
Дано, что \(\sin\alpha = \dfrac{3}{5}\), и \(\alpha\) находится во второй четверти, тогда \(\cos\alpha =\)
Решение

По основному тригонометрическому тождеству \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\).

\(\cos^2\alpha=1-\left(\dfrac{3}{5}\right)^2=1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25}\), значит \(\cos\alpha=\pm\dfrac{4}{5}\).

Во второй четверти косинус отрицателен, поэтому \(\cos\alpha=-\dfrac{4}{5}\).

Ответ: B.

Задача 22任意角与诱导公式Angles, values and reduction formulasУглы, значения и формулы приведения2025年12月, № 22December 2025, № 22Декабрь 2025, № 22
若 \(\alpha\) 为锐角，且 \(\sin\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) ，则 \(\tan\alpha =\) ：
If \(\alpha\) is an acute angle and \(\sin\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\), then \(\tan\alpha =\) :
Если \(\alpha\) — острый угол и \(\sin\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\), то \(\tan\alpha =\) :
Решение

\(\alpha\) острый, поэтому \(\cos\alpha>0\).

По основному тождеству \(\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-\dfrac{3}{4}}=\dfrac{1}{2}\).

Тогда \(\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\dfrac{\sqrt{3}/2}{1/2}=\sqrt{3}\).

Ответ: B.

Задача 34任意角与诱导公式Angles, values and reduction formulasУглы, значения и формулы приведения2025年12月, № 34December 2025, № 34Декабрь 2025, № 34
已知 \(\cos\alpha = -\dfrac{1}{2}\)，\(\alpha \in \left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right)\)，则 \(\sin\alpha\) 的值是：
Given that \(\cos\alpha = -\dfrac{1}{2}\), \(\alpha \in \left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right)\), the value of \(\sin\alpha\) is:
Известно, что \(\cos\alpha = -\dfrac{1}{2}\), \(\alpha \in \left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right)\), тогда значение \(\sin\alpha\) равно:
Решение

Используем основное тригонометрическое тождество: \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\).

Подставляем значение косинуса: \(\sin^2\alpha = 1 - \left(-\dfrac{1}{2}\right)^2 = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}\).

Так как угол \(\alpha\) лежит во второй четверти, синус положителен.

Извлекаем корень: \(\sin\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

Ответ: B.

Задача 38任意角与诱导公式Angles, values and reduction formulasУглы, значения и формулы приведения2025年12月, № 38December 2025, № 38Декабрь 2025, № 38
关于诱导公式，下列等式错误的是：
Which of the following reduction formulas is incorrect?
Какая из следующих формул приведения неверна?
Решение

Проверим формулы приведения для каждой из предложенных записей.

Вариант A: \(\cos(2\pi - \alpha) = \cos\alpha\) — верная формула, так как период косинуса равен \(2\pi\).

Вариант B: \(\tan(\pi + \alpha) = \tan\alpha\), а не \(-\tan\alpha\), поскольку тангенс имеет период \(\pi\). Эта формула неверна.

Вариант C: \(\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha\) — верная формула приведения для второй четверти.

Вариант D: \(\sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cos\alpha\) — верная формула перехода к кофункции.

Ответ: B.

Задача 55任意角与诱导公式Angles, values and reduction formulasУглы, значения и формулы приведения2026年1月, № 7January 2026, № 7Январь 2026, № 7
假设角 \(\alpha=30^{\circ}\)。那么下列哪个陈述是正确的？
Suppose that an angle \(\alpha=30^{\circ}\). Then which of the following statements is correct?
Пусть угол \(\alpha=30^{\circ}\). Тогда какое из следующих утверждений верно?
Решение

Для \(\alpha=30^{\circ}\): \(\sin\alpha=\dfrac{1}{2}\), \(\cos\alpha=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), \(\tan\alpha=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\).

Вариант A неверен: \(\sin 30^{\circ}=\dfrac{1}{2}\), а не \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).

Вариант C неверен: \(\cos 30^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), а не \(\dfrac{1}{2}\).

Вариант D неверен: \(\tan 30^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\), а не \(\sqrt{3}\).

Ответ: B.

Задача 63任意角与诱导公式Angles, values and reduction formulasУглы, значения и формулы приведения2026年1月, № 15January 2026, № 15Январь 2026, № 15
如果 \(\alpha\) 是 \(x\) 轴与一条过点 \(P(1,3)\) 的直线之间的夹角，那么 \(\sin\alpha=\)
If \(\alpha\) is the angle between the \(x\)-axis and a line containing the point \(P(1,3)\), then \(\sin\alpha=\)
Если \(\alpha\) — угол между осью \(x\) и прямой, проходящей через точку \(P(1,3)\), то \(\sin\alpha=\)

Ошибка в источнике: в условии не сказано, что прямая проходит через начало координат, это подразумевается.

Решение

Вектор направления прямой из начала координат через точку \(P(1,3)\) имеет координаты \((1,3)\).

Его длина равна \(\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}\).

Синус угла с осью \(Ox\) равен отношению ординаты к длине: \(\sin\alpha=\dfrac{3}{\sqrt{10}}\).

Рационализируем: \(\dfrac{3}{\sqrt{10}}=\dfrac{3\sqrt{10}}{10}\).

Ответ: B.

Задача 68任意角与诱导公式Angles, values and reduction formulasУглы, значения и формулы приведения2026年1月, № 20January 2026, № 20Январь 2026, № 20
已知 \(\sin\alpha = \dfrac{4}{5}\)，且角 \(\alpha\) 属于第二象限，则下列说法正确的是：
Given that \(\sin\alpha = \dfrac{4}{5}\) and the angle \(\alpha\) lies in the second quadrant, which of the following statements is correct?
Известно, что \(\sin\alpha = \dfrac{4}{5}\), а угол \(\alpha\) находится во второй четверти. Какое из следующих утверждений верно?
Решение

По основному тригонометрическому тождеству \(\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \dfrac{16}{25} = \dfrac{9}{25}\).

Так как угол \(\alpha\) лежит во второй четверти, косинус отрицателен, поэтому \(\cos\alpha = -\dfrac{3}{5}\).

Тангенс равен \(\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \dfrac{4/5}{-3/5} = -\dfrac{4}{3}\).

Вариант A неверен из-за знака косинуса, вариант C содержит перевёрнутую дробь для тангенса, вариант D имеет неверный знак.

Ответ: B.

Задача 86任意角与诱导公式Angles, values and reduction formulasУглы, значения и формулы приведения2026年1月, № 38January 2026, № 38Январь 2026, № 38
下列哪个陈述是正确的？
Which of the following statements is correct?
Какое из следующих утверждений верно?
Решение

\(\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha\), поэтому A неверно.

\(\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha\), поэтому B неверно.

Синус нечётный: \(\sin(-\alpha)=-\sin\alpha\), поэтому C неверно.

Косинус чётный: \(\cos(-\alpha)=\cos\alpha\), поэтому D верно.

Ответ: D.

Задача 102任意角与诱导公式Angles, values and reduction formulasУглы, значения и формулы приведения2026年3月, № 6March 2026, № 6Март 2026, № 6
设 \(\alpha = \dfrac{5\pi}{6}\)。则 \(\cos\alpha =\)
Let \(\alpha = \dfrac{5\pi}{6}\). Then \(\cos\alpha =\)
Пусть \(\alpha = \dfrac{5\pi}{6}\). Тогда \(\cos\alpha =\)
Решение

\(\dfrac{5\pi}{6} = \pi - \dfrac{\pi}{6}\), угол во второй четверти, косинус отрицателен.

По формуле приведения: \(\cos\dfrac{5\pi}{6} = -\cos\dfrac{\pi}{6} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

Ответ: A.

Задача 130任意角与诱导公式Angles, values and reduction formulasУглы, значения и формулы приведения2026年3月, № 39March 2026, № 39Март 2026, № 39
若\(\sin\alpha=\dfrac{1}{3}\)，则\(\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)=\)
If \(\sin\alpha=\dfrac{1}{3}\), then \(\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)=\)
Если \(\sin\alpha=\dfrac{1}{3}\), то \(\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)=\)
Решение

По формуле приведения \( \cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\sin\alpha \).

Подставляем \( \sin\alpha=\dfrac{1}{3} \), получаем \( -\dfrac{1}{3} \).

Ответ: A.

Задача 145任意角与诱导公式Angles, values and reduction formulasУглы, значения и формулы приведения2026年4月, № 7April 2026, № 7Апрель 2026, № 7
\(\sin 120^{\circ}=\)
\(\sin 120^{\circ}=\)
\(\sin 120^{\circ}=\)
Решение

Используем формулу приведения для второй четверти: \(\sin(180^{\circ} - \alpha) = \sin \alpha\).

Представляем угол как \(120^{\circ} = 180^{\circ} - 60^{\circ}\).

Тогда \(\sin 120^{\circ} = \sin 60^{\circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

Ответ: A.

Задача 154任意角与诱导公式Angles, values and reduction formulasУглы, значения и формулы приведения2026年4月, № 16April 2026, № 16Апрель 2026, № 16
若点 \(P(x, y)\) 在角 \(\alpha\) 的终边上，\(P\) 到原点的距离为 \(r\) (\(r \neq 0\))，则 \(\cos \alpha =\)
If a point \(P(x, y)\) is on the terminal side of angle \(\alpha\), and the distance from \(P\) to the origin is \(r\) (\(r \neq 0\)), then \(\cos \alpha =\)
Если точка \(P(x, y)\) лежит на конечной стороне угла \(\alpha\), а расстояние от \(P\) до начала координат равно \(r\) (\(r \neq 0\)), то \(\cos \alpha =\)
Решение

По определению тригонометрических функций на координатной плоскости, если точка \(P(x, y)\) лежит на конечной стороне угла \(\alpha\), а расстояние от начала координат до неё равно \(r\), то косинус угла равен отношению абсциссы к этому расстоянию.

Следовательно, \(\cos \alpha = \dfrac{x}{r}\).

Вариант A даёт синус, варианты B и C дают тангенс и котангенс соответственно.

Ответ: D.

Задача 176任意角与诱导公式Angles, values and reduction formulasУглы, значения и формулы приведения2026年4月, № 38April 2026, № 38Апрель 2026, № 38
下列等式中正确的是
Which of the following equations is correct?
Какое из следующих равенств является верным?
Решение

Проверяем формулы приведения для каждого варианта.

Вариант A: \(\cos\left(\dfrac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\sin\alpha\), а не \(\sin\alpha\), вариант неверен.

Вариант B: \(\sin\left(\dfrac{\pi}{2} + \alpha\right) = \cos\alpha\), это верное тождество.

Вариант C: \(\cos(\pi + \alpha) = -\cos\alpha\), а не \(\cos\alpha\), вариант неверен.

Вариант D: \(\sin(\pi + \alpha) = -\sin\alpha\), а не \(\sin\alpha\), вариант неверен.

Ответ: B.

Задача 192任意角与诱导公式Angles, values and reduction formulasУглы, значения и формулы приведения2026年6月, № 6June 2026, № 6Июнь 2026, № 6
下列结果正确的是：
Which of the following results is correct?
Какой из следующих результатов верен?
Решение

\(\tan\dfrac{\pi}{3}=\sqrt{3}\neq 2\), вариант A неверен.

\(\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2}\), вариант B верен.

\(\sin\pi=0\neq 1\), вариант C неверен.

\(\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\neq \dfrac{1}{2}\), вариант D неверен.

Ответ: B.

Задача 200任意角与诱导公式Angles, values and reduction formulasУглы, значения и формулы приведения2026年6月, № 14June 2026, № 14Июнь 2026, № 14
若点 \(P(1, 2)\) 是角 \(\alpha\) 的终边上的点，则 \(\sin\alpha =\)
If point \(P(1, 2)\) lies on the terminal side of angle \(\alpha\), then \(\sin\alpha =\)
Если точка \(P(1, 2)\) лежит на конечной стороне угла \(\alpha\), то \(\sin\alpha =\)
Решение

Расстояние от начала координат до точки \(P(1,2)\): \(r=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}\).

По определению \(\sin\alpha=\dfrac{y}{r}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}\).

Рационализируем: \(\dfrac{2}{\sqrt{5}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}=2\dfrac{\sqrt{5}}{5}\).

Ответ: D.

Задача 223任意角与诱导公式Angles, values and reduction formulasУглы, значения и формулы приведения2026年6月, № 37June 2026, № 37Июнь 2026, № 37
关于诱导公式，下列表达式正确的是：
Which of the following expressions about reduction formulas is correct?
Какое из следующих выражений для формул приведения является верным?
Решение

Проверяем вариант A: \( \sin(\pi + \alpha) = -\sin \alpha \), знак неверный.

Вариант B: \( \cos(2\pi - \alpha) = \cos \alpha \), косинус периодичен с \( 2\pi \) и чётен, верно.

Вариант C: \( \tan(\pi + \alpha) = \tan \alpha \), знак неверный.

Вариант D: \( \sin\left(\dfrac{\pi}{2} + \alpha\right) = \cos \alpha \), а не \( \sin \alpha \).

Ответ: B.

Задача 240任意角与诱导公式Angles, values and reduction formulasУглы, значения и формулы приведения模拟卷 CSCA Math Exam, № 6Mock: CSCA Math Exam, № 6Пробник CSCA Math Exam, № 6
已知角 \(\alpha = \dfrac{5\pi}{6}\)，则下列结论正确的是：
Given angle \(\alpha = \dfrac{5\pi}{6}\), which conclusion is correct?
Дан угол \(\alpha = \dfrac{5\pi}{6}\). Какое из следующих заключений верно?
Решение

Угол \( \dfrac{5\pi}{6} \) лежит во второй четверти, там синус положителен.

По формуле приведения \( \sin\dfrac{5\pi}{6} = \sin\left(\pi - \dfrac{\pi}{6}\right) = \sin\dfrac{\pi}{6} \).

Табличное значение \( \sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2} \).

Ответ: A.

Задача 249任意角与诱导公式Angles, values and reduction formulasУглы, значения и формулы приведения模拟卷 CSCA Math Exam, № 15Mock: CSCA Math Exam, № 15Пробник CSCA Math Exam, № 15
已知角 \(\alpha\) 的终边经过点 \(M(2,4)\)，则 \(\tan\alpha=\)
Given that the terminal side of the angle \(\alpha\) passes through the point \(M(2,4)\), then \(\tan\alpha=\)
Известно, что конечная сторона угла \(\alpha\) проходит через точку \(M(2,4)\). Тогда \(\tan\alpha=\)
Решение

Для точки \( M(x, y) \) на терминальной стороне угла \( \tan\alpha = \dfrac{y}{x} \).

Подставляем координаты точки \( M(2, 4) \): \( \tan\alpha = \dfrac{4}{2} = 2 \).

Ответ: A.

Задача 271任意角与诱导公式Angles, values and reduction formulasУглы, значения и формулы приведения模拟卷 CSCA Math Exam, № 37Mock: CSCA Math Exam, № 37Пробник CSCA Math Exam, № 37
下列各式中正确的是：
Which of the following equations is correct?
Какое из следующих равенств верно?
Решение

Функция синус имеет период \(2\pi\), поэтому \(\sin(\alpha+4\pi)=\sin\alpha\), вариант A неверен.

Прибавление \(3\pi\) равносильно прибавлению \(\pi\) с точностью до периода, значит \(\sin(\alpha+3\pi)=-\sin\alpha\), вариант B неверен.

По формуле приведения \(\cos\left(\alpha+\dfrac{3\pi}{2}\right)=\sin\alpha\), вариант C верен.

По формуле приведения \(\cos\left(\alpha+\dfrac{\pi}{2}\right)=-\sin\alpha\), вариант D неверен.

Ответ: C.

Задача 322任意角与诱导公式Angles, values and reduction formulasУглы, значения и формулы приведения模拟卷 Crossline, № 40Mock: Crossline, № 40Пробник Crossline, № 40
将 \(\dfrac{5\pi}{12}\) 弧度化为角度：
Express \(\dfrac{5\pi}{12}\) radians in terms of degrees:
Выразите \(\dfrac{5\pi}{12}\) радиан в градусах:
Решение

Перевод радиан в градусы: умножаем на \( \dfrac{180^\circ}{\pi} \).

\( \dfrac{5\pi}{12} \cdot \dfrac{180^\circ}{\pi} = \dfrac{5 \cdot 180^\circ}{12} = 75^\circ \).

Ответ: B.