直线LinesПрямая

Угловой коэффициент прямой \( y = \sqrt{3}x + 10 \) равен \( k = \sqrt{3} \).

Угловой коэффициент связан с углом наклона формулой \( k = \tan\alpha \).

Находим угол: \( \tan\alpha = \sqrt{3} \), откуда \( \alpha = 60° \).

Ответ: A.

Приравниваем \(y\) из первого уравнения во второе: \(x + (2x + 1) + 1 = 0\).

Решаем: \(3x + 2 = 0\), откуда \(x = -\dfrac{2}{3}\).

Находим \(y\): \(y = 2 \cdot \left(-\dfrac{2}{3}\right) + 1 = -\dfrac{4}{3} + \dfrac{3}{3} = -\dfrac{1}{3}\).

Точка пересечения: \(\left(-\dfrac{2}{3}, -\dfrac{1}{3}\right)\).

Ответ: D.

Прямая \(l: x + y + 3 = 0\) имеет угловой коэффициент \(-1\).

Перпендикулярная прямая должна иметь угловой коэффициент, обратный по знаку и величине: \(k = 1\).

Среди вариантов только прямая \(y = x + 2\) имеет угловой коэффициент \(1\).

Ответ: B.

Найдём точку пересечения прямых \(l_2\) и \(l_3\), решив систему \(x+y+1=0\) и \(2x+y-1=0\).

Вычитая первое уравнение из второго, получаем \(x-2=0\), откуда \(x=2\), \(y=-3\).

Прямая \(l_1\) имеет угловой коэффициент \(-\dfrac{1}{2}\), поэтому перпендикулярная ей прямая \(l\) имеет угловой коэффициент \(2\).

Уравнение прямой \(l\), проходящей через точку \((2,-3)\) с угловым коэффициентом \(2\): \(y+3=2(x-2)\).

Раскрывая скобки, получаем \(y+3=2x-4\), то есть \(2x-y-7=0\).

Ответ: C.

Угловой коэффициент прямой через точки \(A(-2,3)\) и \(B(3,1)\): \(k=\dfrac{1-3}{3-(-2)}\).

\(k=\dfrac{-2}{5}=-\dfrac{2}{5}\).

Ответ: C.

Угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона: \(k=\tan 45^\circ=1\).

Прямая проходит через \((0,2)\), значит \(b=2\) в уравнении \(y=kx+b\).

\(y=x+2\).

Ответ: B.

Решаем систему: \(3x-y=-8\) и \(x+2y=9\).

Из первого уравнения \(y=3x+8\), подставляем во второе: \(x+2(3x+8)=9\).

Получаем \(7x+16=9\), откуда \(x=-1\).

Тогда \(y=3\cdot(-1)+8=5\), точка пересечения \((-1,5)\).

Ответ: D.

Две прямые \(A_1x + B_1y + C_1 = 0\) и \(A_2x + B_2y + C_2 = 0\) перпендикулярны тогда и только тогда, когда \(A_1A_2 + B_1B_2 = 0\).

Для данных прямых коэффициенты равны \(A_1 = a\), \(B_1 = a-1\), \(A_2 = 2\), \(B_2 = a\).

Составляем уравнение перпендикулярности: \(a \cdot 2 + (a-1) \cdot a = 0\).

Раскрываем скобки: \(2a + a^2 - a = 0\), что упрощается до \(a^2 + a = 0\).

Выносим общий множитель: \(a(a+1) = 0\), откуда \(a = 0\) или \(a = -1\).

Оба значения дают корректные пары перпендикулярных прямых.

Ответ: D.

Прямая \(l_{1}: x+2y+4=0\) имеет угловой коэффициент \(-\dfrac{1}{2}\), поэтому перпендикулярная ей прямая \(l\) имеет угловой коэффициент \(2\).

Находим точку пересечения \(l_{2}\) и \(l_{3}\): из системы \(x+y+1=0\) и \(2x+y-1=0\) вычитаем первое из второго, получаем \(x=2\), \(y=-3\).

Уравнение прямой \(l\) с угловым коэффициентом \(2\) через точку \((2,-3)\): \(y+3=2(x-2)\).

Раскрываем скобки: \(y+3=2x-4\), то есть \(2x-y-7=0\).

Ответ: A.

Запишем уравнение прямой в виде \(y=kx+b\): \(\sqrt{3}\,y=-x+2\), \(y=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}x+\dfrac{2}{\sqrt{3}}\).

Угловой коэффициент \(k=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\), значит \(\tan\alpha=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\).

Угол наклона берётся от \(0°\) до \(180°\), при отрицательном тангенсе угол тупой.

\(\alpha=180°-30°=150°\).

Ответ: A.

Угловой коэффициент прямой \(k=\dfrac{0-(-1)}{-2-0}=-\dfrac{1}{2}\).

Уравнение через точку \(M(0,-1)\): \(y=-\dfrac{1}{2}x-1\).

Умножаем на \(2\) и переносим всё влево: \(x+2y+2=0\).

Проверка точки \(N(-2,0)\): \(-2+0+2=0\), верно.

Ответ: D.

Находим точку пересечения двух известных прямых: складываем \(4x+3y=10\) и утроенное \(2x-y=10\), получаем \(10x=40\), \(x=4\).

Тогда \(y=2x-10=-2\), точка пересечения \((4;-2)\).

Подставляем её в первую прямую: \(4a+2\cdot(-2)+8=0\), \(4a+4=0\), \(a=-1\).

Ответ: B.

Угловой коэффициент прямой \(4x-2y-1=0\): \(y=2x-\dfrac{1}{2}\), то есть \(k=2\).

Параллельная прямая должна иметь тот же коэффициент \(k=2\).

Вариант B: \(2x-y-1=0\) даёт \(y=2x-1\), \(k=2\), подходит.

Остальные: A даёт \(k=-\dfrac{1}{2}\), C даёт \(k=-2\), D даёт \(k=\dfrac{1}{2}\).

Ответ: B.

Решаем систему \(x+y+1=0\) и \(2x+y-1=0\): вычитаем, получаем \(x=2\), тогда \(y=-3\)

Прямая \(l\) проходит через точку \((2,-3)\)

Нормаль \(l_1\) равна \((1,2)\), значит направляющий вектор \(l_1\) равен \((2,-1)\)

Прямая \(l\) перпендикулярна \(l_1\), поэтому её нормаль \((2,-1)\) и уравнение \(2x-y+C=0\)

Подставляем \((2,-3)\): \(4+3+C=0\), откуда \(C=-7\), то есть \(2x-y-7=0\)

Ответ: A.

Угловой коэффициент прямой вычисляется по формуле \(k = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\).

Подставляем координаты точек \(A(-1, 1)\) и \(B(2, 3)\): \(k = \dfrac{3 - 1}{2 - (-1)}\).

Вычисляем разности: числитель равен \(2\), знаменатель равен \(3\).

Получаем \(k = \dfrac{2}{3}\).

Ответ: D.

Угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона: \(k=\tan 60^{\circ}\).

Так как \(\tan 60^{\circ}=\sqrt{3}\), получаем \(k=\sqrt{3}\).

Ответ: D.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом \(k\), проходящей через точку \((x_0, y_0)\), имеет вид \(y - y_0 = k(x - x_0)\).

Подставляем \(k = -3\) и точку \((1, 2)\): \(y - 2 = -3(x - 1)\).

Раскрываем скобки: \(y - 2 = -3x + 3\).

Переносим все члены в одну сторону: \(3x + y - 5 = 0\).

Ответ: A.

Решаем систему уравнений прямых: \(3x - y + 2 = 0\) и \(4x - y + 3 = 0\).

Выражаем \(y\) из первого уравнения: \(y = 3x + 2\).

Подставляем во второе: \(4x - (3x + 2) + 3 = 0\), откуда \(x + 1 = 0\), то есть \(x = -1\).

Находим ординату: \(y = 3(-1) + 2 = -1\).

Точка пересечения имеет координаты \((-1, -1)\).

Ответ: B.

Запишем уравнение данной прямой в виде \(y = 2x + 2\), её угловой коэффициент равен \(2\).

Угловой коэффициент перпендикулярной прямой равен \(-\dfrac{1}{2}\).

В варианте B уравнение \(x + 2y - 2 = 0\) приводится к виду \(y = -\dfrac{1}{2}x + 1\), угловой коэффициент \(-\dfrac{1}{2}\).

Варианты A, C и D имеют угловые коэффициенты \(-2\), \(-1\) и \(\dfrac{1}{2}\) соответственно, они не подходят.

Ответ: B.

Угловой коэффициент прямой через точки \((-1,1)\) и \((0,2)\): \(k=\dfrac{2-1}{0-(-1)}=1\).

Угол наклона \(\alpha\) удовлетворяет \(\tan\alpha=k=1\).

Так как \(0^\circ\le\alpha<180^\circ\), получаем \(\alpha=45^\circ\).

Ответ: C.

Угловой коэффициент прямой через точки \(A(-1,1)\) и \(B(2,3)\): \(k=\dfrac{3-1}{2-(-1)}\).

Вычисляем: \(k=\dfrac{2}{3}\).

Ответ: A.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом \(k\), проходящей через начало координат, имеет вид \(y = kx\).

По условию угловой коэффициент \(k = 2\).

Подставляем и получаем \(y = 2x\).

Варианты A и D не проходят через начало координат, вариант B имеет неверный угловой коэффициент.

Ответ: C.

Уравнение прямой \(l_2\), проходящей через точки \(A(1,0)\) и \(B(0,1)\), имеет вид \(y = -x + 1\).

Приравниваем правые части уравнений прямых: \(x + 3 = -x + 1\).

Решаем уравнение: \(2x = -2\), откуда \(x = -1\).

Подставляем \(x = -1\) в уравнение \(l_1\): \(y = -1 + 3 = 2\).

Точка пересечения прямых равна \((-1, 2)\).

Ответ: C.

Угловые коэффициенты: \( l_1: y=-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2} \), \( k_1=-\dfrac{1}{2} \); \( l_2: k_2=1 \); \( l_3: k_3=2 \).

Параллельность требует равных коэффициентов: \( k_1\neq k_2 \) и \( k_1\neq k_3 \), варианты A и C неверны.

Перпендикулярность: \( k_1k_2=-\dfrac{1}{2}\neq -1 \), вариант B неверен; \( k_1k_3=-\dfrac{1}{2}\cdot 2=-1 \), значит \( l_1\perp l_3 \).

Ответ: D.

Угловой коэффициент прямой через две точки \( k = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \).

Подставляем координаты \( k = \dfrac{3 - 1}{2 - (-1)} = \dfrac{2}{3} \).

Ответ: C.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом \(k\), проходящей через точку \((x_0, y_0)\), имеет вид \(y - y_0 = k(x - x_0)\).

Подставляем \(x_0 = -2\), \(y_0 = 3\), \(k = 2\): \(y - 3 = 2(x + 2)\).

Раскрываем скобки: \(y - 3 = 2x + 4\).

Выражаем \(y\): \(y = 2x + 7\).

Варианты A и D имеют неверный угловой коэффициент, вариант B не проходит через заданную точку.

Ответ: C.

Из второго уравнения выражаем \(y = x + 3\).

Подставляем в первое уравнение: \(3x + 2(x + 3) + 4 = 0\).

Раскрываем скобки: \(3x + 2x + 6 + 4 = 0\), откуда \(5x = -10\) и \(x = -2\).

Находим \(y = -2 + 3 = 1\), точка пересечения \((-2, 1)\).

Ответ: C.

Прямые \(a_1x+b_1y+c_1=0\) и \(a_2x+b_2y+c_2=0\) параллельны, когда \(a_1b_2=a_2b_1\).

Здесь \(a(a+1)=1\cdot 2\), то есть \(a^2+a-2=0\).

Корни: \(a=1\) или \(a=-2\).

Проверка на совпадение: при \(a=1\) прямые \(x+2y-1=0\) и \(x+2y+4=0\) различны, при \(a=-2\) прямые \(-2x+2y-1=0\) и \(x-y+4=0\) также различны, оба значения подходят.

Ответ: B.

Находим пересечение \(l_2\) и \(l_3\): вычитаем \(x+y+1=0\) из \(2x+y-1=0\), получаем \(x-2=0\), \(x=2\), тогда \(y=-3\).

Прямая \(l_1: x+2y+4=0\) имеет угловой коэффициент \(-\dfrac{1}{2}\), перпендикулярная ей прямая имеет коэффициент \(2\).

Уравнение \(l\): \(y+3=2(x-2)\), то есть \(2x-y-7=0\).

Ответ: A.

Все три прямые возрастают, значит углы наклона острые и все угловые коэффициенты положительны.

На промежутке \( \left(0, \dfrac{\pi}{2}\right) \) функция \( k = \tan \alpha \) возрастает: чем круче прямая, тем больше её угловой коэффициент.

По рисунку \( l_1 \) самая пологая, \( l_2 \) круче, \( l_3 \) самая крутая.

Поэтому \( k_1 < k_2 < k_3 \).

Ответ: B.

Прямые \(x + y - 1 = 0\) и \(x + y + 2 = 0\) параллельны, так как коэффициенты при переменных пропорциональны.

Расстояние между параллельными прямыми \(ax + by + c_1 = 0\) и \(ax + by + c_2 = 0\) вычисляется по формуле \(d = \dfrac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\).

Подставляем значения: \(a = 1\), \(b = 1\), \(c_1 = -1\), \(c_2 = 2\).

Получаем \(d = \dfrac{|-1 - 2|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \dfrac{3}{\sqrt{2}} = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}\).

Ответ: A.

Угловой коэффициент прямой \(x - 2y + 3 = 0\) равен \(\dfrac{1}{2}\).

Перпендикулярная прямая имеет угловой коэффициент \(-2\).

Уравнение прямой через точку \((1, -2)\): \(y + 2 = -2(x - 1)\).

Раскрываем скобки: \(y + 2 = -2x + 2\), откуда \(2x + y = 0\).

Вариант B не подходит, так как при подстановке точки \((1,-2)\) получаем \(2 - 2 - 4 \neq 0\).

Ответ: D.